而当AB≠BA是，则 这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。
2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 1．若 A 为对角线矩阵，即
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(5)
则
(6)
2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即
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上式对
求解，即得式（12）。 时，则EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
上式对 ，求异数，有：
再对 求异数，有：
重复以上步骤，最后有：
由上面的n个方程，对
2.2
矩阵指数函数——状态转移矩阵
满足初始状态 x(t ) |t 0 x(0) 的解是：
x(t ) eAt x(0)
A (t t0 )
满足初始状态 x(t ) |t t0 x(t0 )的解是： x(t ) e
At e Φ(t ) 则有： 令： A ( t t0 ) Φ(t t0 ) e
0 2 1 e 2t 1 1 e t e 2 t t 2t e 2e
3）用拉氏变换法求解
e At L1 ( sI A)1


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s3 1 ( s 1)(s 2) s 1 1 sI A 2 2 s 3 ( s 1)(s 2)
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2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程：
(1)
若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解： (2) 若初始时刻从 开始，即 则其解为： (3) 证明： 级数形式 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量幂
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(4) 代入式(1)得： (5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次
幂项的系数应相等，有：
，可得：
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在式(4)中，令
将以上结果代入式(4)，故得：
1 1 s 1 s 2 1 2 s 1 s 2
2e t e 2t t 2t 2 e 2 e
e t e 2t t 2t e 2e
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
求解，记得公式（13）。
例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵 [解]： 1）直接算法（略） 2）用标准型法求解 特征值：
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0 1 A 2 3
1 1, 2 2
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 P 1 1 1 1
x(t0 )
x(t ) Φ(t )x(0) x(t ) Φ(t t0 )x(t0 )
线性定常系统的状态转移矩阵
注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数 起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点
2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一 或 这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到
(7)
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3.若 A 为约旦矩阵 则
(8)
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4.若
则
(9)
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2.2.4 1.根据
的计算 的定义直接计算
At 0
t
A ( t )
Bu( )d
Φ(t )x(0) Φ(t )Bu( )d
0
t
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Φ(t )x(0) Φ( )Bu(t )d
0
t
t 2 t t 2 t 2 e e e e At e Φ(t ) u (t ) 1 t 2t t 2t e 2e 2 e 2e t 2e e 2 e e 2 0 t d 2 2 0 Φ( )Bu(t )d 0 e 2 e 1 2e 2e t 1 2 t 1 t e e 2 e e d 2 2 2 0 e t 2t 2e e e 1 2t 1 t 2e t e 2t e t e 2t x1 (0) e e x(t ) 2 2 t 2t t 2t t 2t e 2e x2 (0) 2e e e e
矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为： 或
令Φ(t ) eAt， 反应了由初始状态到时 间t的运动规律
该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了 状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。
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1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
s3 At 1 ( s 1)(s 2) e L 2 ( s 1)(s 2)
1 1 2 ( s 1)(s 2) 1 s 1 s 2 L s 2 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2
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(1)
的组合。
2.性质二 或 注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 3.性质三 或 (3)
(2)
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4.性质四 或 (4)
这个性质说明， 矩阵与A矩阵是可以交换的。 注：本性质还表明，由状态转移矩阵 可反推A！ 5.性质五 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有
(6)
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等式右边括号内的展开式是
矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，
即
(7) 于是式(6)可表示为：
再用 的正确性。
代替
即在代替
的情况下，同样可以证明式2)
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2.2
故
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对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：
4.应用凯莱—哈密顿定理求 （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
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编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1 2.变换 A 为约旦标准型 （1）A 特征根互异
其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：
3.利用拉氏反变换法求
(10) 齐次微分方程
两边取拉氏变换 证明
即
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At t A ( t ) 0
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x(t ) e x(0) e
Bu( )d
Φ(t )x(0) Φ(t )Bu( )d
0
t
s3 ( s 1)(s 2) 1 sI A 2 ( s 1)(s 2)
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 2.2 2.3 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 矩阵指数函数——状态转移矩阵 线性定常系统非齐次方程的解
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2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
以此类推，
都可用
线性表示。
(2)在
定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的幂次项， 即
（11）
（3）
的计算公式
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A的特征值互异时，则
（12）
证明
根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值
和A是
可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：
e
At
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
e t e 2t t 2t e 2e
L
1
sI A
1
2e t e 2t t 2t 2 e 2 e
x(t ) e x(0) e
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2.3
线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态