sI

A 1

s 2
s3
1 1 s 3

(s
1)(s 2

2)
(s 1)(s 2)
1

(s
1)(s s

2)

(s 1)(s 2)
s3
e At

L1

(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
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第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化


(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
1
(s

1)( s s

2)

(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t

et

2e2t

et

2e2t

例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
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2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
作用下的强制运动。此时状态
1 1 1 1
P 1
2


1
2
P1 12
1
1


2 1
1 1
e At

Pe At P1

e1t
P
0
0 e2t

P
1


1 11 et Nhomakorabea2
0
et
e2t 2 1 2et e2t
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
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(4) 代入式(1)得：
(5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
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在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则 系统的解式（2）可以简化为以下公式：
1.脉冲响应
即当
时
2.阶跃响应
即当
时
3.斜坡响应
即当
时
（6） （7）
（8）
例2-8 要求掌握！
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sI A 1
2et e2t 2et e2t
et e2t

et

2e2t

x(t) L1 (sI A)1 x(0) L1 (sI A)1BU(s)
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在式(4)中，令
，可得：
将以上结果代入式(4)，故得： (6)
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等式右边括号内的展开式是 即
于是式(6)可表示为：
矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ， (7)
再用 的正确性。
代替
即在代替 的情况下，同样可以证明式2)
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(0)


et et
1 e2t 2 e2t

1
2


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例2-8：已知系统状态方程中
0 1 0
试求解该系统的单位阶跃响应。A 2 3,b 1
解法二：拉氏变换法
或
(1)
这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。
2.性质二
或
(2)
注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 3.性质三
或
(3)
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4.性质四
或
(4)
这个性质说明，
矩阵与A矩阵是可以交换的。
注：本性质还表明，由状态转移矩阵
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2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程：
(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
线性定常系统的状态转移矩阵
注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数 起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点
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2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一
可反推A！
5.性质五
对于
方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有
而当AB≠BA是，则
这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。
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2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 1．若 A 为对角线矩阵，即
对式（4）在
上间积分，有：
整理后可得式（2）：
同理，若对式（4）在
上积分，即可证明式（3）。
式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：
即
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上式左乘
，得：
注意式（5）等式右边第二项，其中：
（5）
两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即 以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得 ：
et

2e2t


1
1 2et 2e2t
0 2 1
e
2t


1
1
et e2t

et

2e2t

3）用拉氏变换法求解 e At L1 (sI A)1
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(s (s

1 1)( s
s 1)( s

2) 2)

L1

2
s 1 2
s 1

1
s2 2
s2
1
s 1 1

1
s2 2

s 1 s 2
2et e2t
et e2t
2et 2e2t

2et 2et
e2t 2e2t
et e2t

et

2e2t

u(t) 1
t Φ( )Bu(t )d 0
t 2e e2 0 2e 2e2
e e
e2 2e2
10d
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为：
或
令Φ(t) eAt， 反应了由初始状态到时 间t的运动规律
该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了 状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。
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求解，记得公式（13）。
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例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵
[解]： 1）直接算法（略）
2）用标准型法求解
A

0 2
1 3
特征值： 1 1, 2 2
特征值互异 ，转化成对角标准型，且A为友矩阵
2.2.4 1.根据
的计算 的定义直接计算
编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1 2.变换 A 为约旦标准型 （1）A 特征根互异
其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：
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3.利用拉氏反变换法求 (10)
证明 齐次微分方程
两边取拉氏变换
即 故
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对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：
4.应用凯莱—哈密顿定理求 （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即
所以有
它是 同理
的线性组合。
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