第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s sL s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------t t tt tt te e te te e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-200010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tA e e te e e2~0000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-1211321200000421211101)(21~t t t ttA At e te e eP Pe e t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e te e t 34838424225342222322)(222222222 （5）为结构四重根的约旦标准型。

04321====λλλλ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φ10100211061211100100!2110!31!211)(232232t t t t t t t t t t t t e e t t Atλ （6）λλλλλ====4321虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==Φt A tA Ate e et 2100)( [][]t t A e e A λλ=⇒=11⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t t tA e te e e t te e eA λλλλλλλλλ00021001001222 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φt t t t t t tAte te e e t te e e et λλλλλλλ0000210000)(2 或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+--+--+-+--+--=-λλλλλλλs s s s s s s L 100)(1100)(1)(11000012321 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t t t e te e e t te e e λλλλλλλ00002100002 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101)0(,210010001x x x & （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。

【解】： （1）[]}210010001{)()(1111----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=Φs s s L A sI L t⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-t tt t t e e e e e s s s s s L 22100000)2(1)2(1)1(100)1(10)1(1（2）特征方程为：0)2()1(2110012=--=----=-λλλλλλA I特征值为：2,1321===λλλ。

1110000000)(11==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-n rank A I rank λ1110000000)(221==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n rank A I rank λ 由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。

求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：[]T P 1102-=对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得：[]T P 1003=所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-200010001~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t tA e e e e2~00000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Φ-t tt tt t t t Ate e e e e P e e e P e t 221200000000000)( （3）特征值为：2,1321===λλλ。

2121101λλλa a a e t ++=12121λλa a te t += 2323103λλλa a a e t ++=即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t e te e a a a 3111233121121012101λλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t t te te e 21421210111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=t t te te e 2111232120⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++-=t t t t t t t t e te e e te e e te 22223222210A a A a I a e At ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=t tt tt e e e e e 2200000 (4)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=Φ=t t t tt tt e e e e e e e x t t x 222010100000)0()()(3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A 。

（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Φt t t t t sin cos 0cos sin 0001)(（2）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ--t t e e t 220)1(5.01)( （3）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--=Φ--------t t ttt t tt e e e e e e e e t 22222222)(（4）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ----t t tt t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0)(【解】：（1）I t t t t t ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Φ=010100001sin cos 0cos sin 0001)0(0Θ ∴不满足状态转移矩阵的条件。

（2）I e e t tt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=--10010)1(5.01)0(022Θ ∴满足状态转移矩阵的条件。

由)()(t A t Φ=Φ&，得A A =Φ=Φ)0()0(&。

∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=----2010200)0(,200)(02222t tt t t e e A e e t && （3）I e e ee e e e e t t t ttt t tt =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--=Φ=--------022222222)0(Θ ∴满足状态转移矩阵的条件。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+-=Φ==--------3120424222)0(02222t t t tt t t tt e e e e e e e e A &（4）I e e ee e e e e t tt tt t t tt =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ=----033335.05.025.025.05.05.0)0(Θ ∴满足状态转移矩阵的条件。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+++-=Φ==----14115.15.0375.025.05.15.0)0(03333t t t tt t t tt e e ee e e e e A &3-2-4 已知线性时变系统为x t t x⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112&，试求系统的状态转移矩阵。

【解】：取)(*)()(*)(,2112)(,2112)(1221222111t A t A t A t A t t t A t t t A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=得： Λ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==Φ⎰⎰⎰ττττττττd d I e t t tt t t d A tt 2)(0002112!212112),( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+=ΦΛΛΛΛ)(21)(32)(1)(21)(32)(1),(03032202200220003032200t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210&，初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x 试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。