2021年高三数学三校联考试题文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集，集合，，则（）
A． B．C． D．
2．已知复数，，则（）
A． B． C． D．
3．若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ） A ． 或 B ．或 C ． D ． 或
4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．
6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天每天日平均温度不低于”，现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位） ①甲地：个数据的中位数为，众数为； ②乙地：个数据的中位数为，平均数为；
③丙地：个数据中有一个数据是，平均数为，方差为.则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3 7．已知条件：，条件：直线与圆相切，则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
8．平面截球所得的截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．
9．若如图所示的程序框图输出的是，则条件①可为（ ） A ． B ． C ． D ．
10．若函数的图象如图所示，则的范围为（ ） A ． B ．
俯视图
侧视图
正视图
12
2
2
2
y
C． D．
11．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）
A． B．
C． D．
12．已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，②函数有个零点
③的解集为④，都有，
其中正确的命题是（）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
13．向量,,，则向量与的夹角为 .
14．已知，，那么 .
15．若满足条件，目标函数的最小值为 .
16．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合:
① ; ② ;
③ ; ④ .
其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
在中，角、、的对边分别为、、，面积为，已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求.
18. （本小题满分12分）
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得该四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍.
19. （本小题满分12分）
甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的项预赛成绩的茎叶图记录如下：(Ⅰ)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
(Ⅱ)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
20. （本小题满分12分）
椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.
（Ⅰ）求椭圆与的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于点，.
（1）求证：直线，斜率之积为常数；
（2）直线与直线的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
P F
E
D
C
B
A
9
甲乙
7
8
9
7
5
2
2 0 5
0 5
5
21. （本小题满分12分）
设函数，（）
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当，时，求证：
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，，为中点，的延长线交圆于点，证明：
（Ⅰ）；
23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为,(为参数).以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（Ⅰ）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点为，，求的值.
24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数，
（Ⅰ）若，解不等式：；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
松原实验高中 xx 年三校联合模拟考试 文科数学能力测试
长春十一高中 东北师大附中
参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
13. 14. 15. 16. ②④ 三、解答题
17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由条件：，
由于：，所以：， 即：………….5分
（Ⅱ），所以：，………….6分
，………….8分
又：)cos 1(2)(cos 22
2
2
2
B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由，
所以：，所以：………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，
所以：，又， 所以：平面，平面，
所以：平面平面………….6分 （Ⅱ）到平面的距离 所以：3
2122213131=⨯⨯⨯⨯==∆-d S V ABF ABF P 而：3
8
4223131==⨯⨯==--ABF P ABCD ABCD P V h h S V ，所以………….12分
P
F E
D
C B
A
19．（本小题满分12分）
(Ⅰ)记甲被抽到的成绩为,乙被抽到的成绩为,用数对表示基本事件：
基本事件总数…………………………5分
记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：
事件包含的基本事件数是…………………………6分
所以…………………………………8分
（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：
，，，
，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适………………………………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，设：，：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：，所以椭圆：，：………….4分
（Ⅱ）（1）设，则，，
，………….6分
所以：，
直线，斜率之积为常数………….8分
（2）设，则，
，，
所以：，同理：………….10分
所以：，由，，结合（1）有
………….10分
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，…………3分
令：，得：或，所以函数单调增区间为：，
，得：，所以函数单调减区间为：，…………5分
（Ⅱ）若证，成立，只需证：
即：当时成立…………6分
设
∴，显然在内是增函数
且，
∴=0在（1,2）内有唯一零点，使得：，
且当（1，），<0；
当（，+），>0.
∴在（1，）递减，在（，+）递增…………10分
==
∵∴
∴∴成立…………12分
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
（Ⅰ）证明：连接，,由题设知，故
因为：，，Array由弦切角等于同弦所对的圆周角：，
所以：，从而弧弧，因此：………5分
（Ⅱ）由切割线定理得：，因为，
所以：，
由相交弦定理得：
所以：………10分
23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程
（Ⅰ）由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标
所以；消去参数的曲线的普通方程为：………5分
（Ⅱ）点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：
，设其两个根为，，所以：，，
由参数的几何意义知：64)(2122121=-+=
-=+t t t t t t PB PA .………10分
24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲
（Ⅰ）当时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：，所以原不等式解集为………5分
（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若恒成立，
只需：
解得：或 ………10分=20401 4FB1 侱X29693 73FD 珽9 36029 8CBD 貽 38177 9521 锡c20486 5006 倆32734 7FDE 翞35860 8C14 谔$31395 7AA3 窣。