max f ( z )
z a

n
(0 R, n 0,1, 2, ).
4.3.2
幂级数的和函数在其收敛圆周上 的状况
定理4.16 半径R>0,且
n c ( z a ) 如果幂级数 n n 0

的收敛
f ( z ) cn ( z a) n , ( z K :| z a | R)
n
应用公式(4.10),我们有
1 za ( ) , z a n 0 a 1 a
右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.
f ( ) 以在 上的有界函数 相乘,仍然得到 上的 a 一致收敛级数 于是(4.11)表示为 上一致收敛级数
f ( ) f ( ) n ( z a) , n 1 a n 0 ( a)
注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其 和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.
z z2 f ( z ) 1 2 3
z z2 z3 f ( z) 2 2 2 1 2 3
z n 1 n
zn 2 n
(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此 幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同 时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的 完全明白.
n 0

则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即 不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与 f (z)恒等,而在C上处处解析. 证 假若这样的F(z)存在, 这时C上的每一点就都 是某圆O的中心,而在圆 O内F(z)是解析的.
z1
a
根据有限覆盖定理,我们就可 以在这些圆O中选取有限个 将圆O覆盖了.这有限个圆将 构成一个区域G,用ρ>0表示C 到G的边界的距离(参看第三 章定理3.3注).于是F(z)在较 圆K大的同心圆
n 0
由定理4.13(3)即知 c'n 故展式是唯一的.
f
(n)
(a) cn (n=0,1,2,…), n!
1 f ( ) f (a ) cn d (4.9 ) n 1 2 i ( a ) n! 定义4.8 (4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式, (4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称 为泰勒级数.
1 将上式沿 积分，并以 乘所得结果 . 2 i 根据逐项积分定理,即得
1 f ( ) f ( z) d 2 i p z 1 f ( ) n ( z a) d , n 1 2 i p a n 0
1 由定理3.13知 2 i

我们设法将被积式:
f ( ) z
图4.1
表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：
f ( ) f ( ) f ( ) 1 z a ( z a) a 1 z a a
(4.11)
由 时
za | za| 1, a
1 2 4 6 1 x x x 2 1 x
4.3.3、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法:
由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
将函数 f ( z ) 在 z0 展开成幂级数.
例1
D
证:证明的关键是利用柯西积分公式及如下 熟知的公式:
z K 总有一个圆周:
1 un (|u|<1). 1 u n 0
(4.10)
使点z含在 的内部 (图4.1中虚线表). 由柯西积分公式得
1 f ( z) 2 i f ( ) p z d
:| a | (0 R),

f ( ) f (a) p ( a)n1 d n! ,
(n)
最后得出
f ( z ) cn ( z a ) n .
n 0

其中的系数由Cn公式(4.9)给出.上面证明对于 任意z∈均成立,故定理的前半部分得证. 下面证明展式是唯一的. 设另有展式
f ( z ) c 'n ( z a )n ( z K :| z a | R).
求 e z 在 z 0 的泰勒展开式 .
因为(e z )( n) e z ,
(e z )( n )
z 0
1 , ( n 0 , 1 , 2 ,)
2 n n z z z 故有 e z 1 z 2! n! n 0 n!
4.3.1.泰勒(Taylor)定理 定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析, a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成 如下幂级数
f ( z ) cn ( z a) (4.8)
n n 0

其中系数 (n) 1 f ( ) f (a) cn d (4.9) n 1 p 2 i ( a) n! ( :| z | ,0 R; n 0,1, 2, ) 展式是唯一的.
( n)
f ( z ) cn ( z a )
n 0

n
(5.8 )
定理4.15 f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D 内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.
由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R内解 析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式
| cn |
/
z2 z1 z10
z3
z2
z5 z2
a
z8
z6
K :|z-a|<R+ρ内是解析 z9 / 的.于是F(z)在K 可开为 泰勒级数.但因在|z-a|<R中F(z)恒等于f(z),故在z=a 处它们以及各阶导数有相同的值。因此级数
n c ( z a ) n 也是F(z)的泰勒级数 n 0
而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.