z < +∞
z3 z5 z2n+1 sinz =z− + −L (− )n + 1 +L z <+ ∞ n )! 3! 5! (2 +1 z2 z4 z2n c sz =1− + −L (− )n o + 1 +L 2! 4! (2 )! n z <+ ∞
第四章 解析函数的级数表示
间接法： 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算 加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, （加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： (1)利用已知初等函数的级数展开式； (1)利用已知初等函数的级数展开式； 利用已知初等函数的级数展开式 (2)利用几何级数 (2)利用几何级数 (3)逐项求导 逐项积分； 逐项求导、 (3)逐项求导、逐项积分； (4)待定系数法 (4)待定系数法 处的Taylor展开式 例2：求sinz在z=0处的 ： 在 处的 展开式
Γρ
ζ
图4.1
第四章 解析函数的级数表示
f (ζ ) ⋅ ζ − z0 1 f (ζ ) z − z0 = ζ − z0 1− ζ − z0
Γρ
n
z − z0 ∑0 ζ − z n= 0
∞
n
z − z0 <1 Q ζ −z 0
f (z) =
2π i ∫
∞
= ∑ C n ( z − z0 ) ， z − z 0 < ρ
n n= 0
∞
f (ζ ) dζ ( z − z0 )n ∫Cρ ( ζ − z0 )n+1
f ( n ) ( z0 ) 1 f (z) Cn = ∫ C ρ ( z − z0 )n+1 dz = n ! 2π i 与z,ρ无关 无关
由柯西积分公式得: 1 f( ) ζ f (z) = ξ ∫Γp ζ −zd 2 i π f (ζ ) 我们设法将被积式: ζ − z 表示为一个含有z-z0的正幂次级数.为此该写： f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) 1 = = ⋅ ζ − z ζ − z0 − ( z − z0 ) ζ − z 0 1 − z − z0 ζ − z0
5
第四章 解析函数的级数表示 推论1： 推论 ： f ( z )在 z 0 解 析 ⇔ f(z)在z0的某一邻域内可展开为 0的幂级数 在 的某一邻域内可展开为z-z 的幂级数. 推论2： 推论 ： 设函数f ( z )在区域D解析， 解析， z0 ∈ D, R = dist ( z0 , ∂D ) 内可展开为z-z 的幂级数. 则 f ( z ) 在 z − z 0 < R 内可展开为 0的幂级数 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 推论3： 推论 ：幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有 一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 一个奇点 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 ).
第四章 解析函数的级数表示
对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算 ）， 相应的泰勒展开式。 相应的泰勒展开式。 求对数函数Ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式 处的幂级数展开式. 例6 求对数函数 在 处的幂级数展开式 的主枝为ln(1+z)，ln(1+z)在从 向左沿负实 在从-1向左沿负实 解: Ln(1+z)的主枝为 的主枝为 ， 在从 轴剪开的平面内是解析的, 是它的奇点 是它的奇点, 轴剪开的平面内是解析的 -1是它的奇点 所以可在 |z|<1展开为 的幂级数. 展开为z的幂级数 展开为 的幂级数
n= 0
第四章 解析函数的级数表示
1 例4 求 f ( z ) = 在z = a( ≠ ±i )的Taylor展开式 . 2 1+ z 解: R = min ( a − i , a + i ) 1 1 i 1 1 i f (z) = − = 2 z−a+a+i − z−a+a−i 2 z+i z−i
1
f (ζ ) 1 dζ = 2π i ζ −z
n
∫ ∑
Γρ n= 0
∞
f (ζ )( z − z0 )n dζ n +1 (ζ − z0 )
f (ζ )( z − z0 ) M z − z0 ≤ , M = max f (ζ ) n +1 Γρ (ζ − z0 ) ρ ρ n ∞ z − z0 M z − z0 ∑ ρ ρ 收敛 ， Q ρ < 1 n= 0 n ∞ f (ζ )( z − z0 ) ζ 关于 在Γ ρ上一致收敛 ⇒∑ n+1 (ζ − z0 ) n= 0
f (z) =
其中系数
cn ( z − z0 )n ∑
n=0
∞
D
Γρ
f (n)(z0) 1 f (ζ) c = n ∫Γρ (ζ −z0)n+1dζ = n! 2 i π
( Γ ρ :| ξ − z0 |= ρ , 0 < ρ < R; n = 0,1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)
且展式是唯一的. 且展式是唯一的
i 1 1 = − z−a z−a 2 (a + i ) 1 + (a − i ) 1 + a+i a−i n n ∞ ∞ 1 i 1 n z−a n z−a ( −1) = − (a − i ) ∑ ( −1) a − i (a + i ) ∑ 2 a+i n=0 n= 0
z 例如： 例如： f ( z ) = 2 = z +z−6 其收敛半径： 其收敛半径：R = 2 ;
∑C
n=0
∞
n
z ,
n
∞ 1 n f ( z) = 2 = ∑ Cn ( z − i ) , z + z − 6 n= 0
其收敛半径： 其收敛半径： R =
1 可在|z|<1内展开成 的幂级数 内展开成z的幂级数 析, 所以 (1 + z ) 2 可在 内展开成 的幂级数.
1 2 n n = 1 − z + z − L + ( −1) z + L ,| z |< 1. 1+ z
将上式两边求导得 1 2 n−1 n−1 = 1− 2z + 3z −L+ (−1) nz +L,| z |< 1. 2 (1+ z)
第四章 解析函数的级数表示
§4.3 泰勒级数
1、泰勒(Taylor)定理 泰勒(Taylor)定理 (Taylor) 2、一些初等函数的泰勒展式
第四章 解析函数的级数表示 4.3.1、泰勒(Taylor)定理 、泰勒 定理
定理4.6 (泰勒定理 设f(z)在区域 内解析 0∈D,只 泰勒定理) 在区域D内解析 定理 泰勒定理 在区域 内解析,z 只 含于D,则 在 内能展成如下幂级数 要K:|z-z0|<R含于 则f(z)在K内能展成如下幂级数 含于
第四章 解析函数的级数表示
e 例3：求函数 ： 在z=0处的泰勒展开式 处的泰勒展开式 1− z
z2 zn ez = 1+ z + + K + + K n! 2!
z
解： 函数有一个奇点z=1， 收敛半径R=1，在|z|<1内解析 内解析. 函数有一个奇点 ， 收敛半径 ， 内解析
1 2 n = 1+ z + z + K + z + K 1− z
两式相乘得， 两式相乘得，
z <1
ez 1 1 1 1 n = 1 + (1 + ) z + K + (1 + + + K + ) z + K 1− z 1! 1! 2! n!
z <1
第四章 解析函数的级数表示
（方法二 待定系数法） 待定系数法）
∞
∞ ez = ∑ cn z n 那么， 那么， 假设所求的泰勒展开式为 1 − z n= 0
(z0 = 0时称为 时称为Maclaurin级数 )
第四章 解析函数的级数表示
证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 柯西积分公式及如下熟知的公式 ∞
1 = ∑ g ( z ) n (|g(z)|<1). 1 − g( z ) n=0
∀ z ∈ K 总有一个圆周: Γ :|ζ −z0 |=ρ(0<ρ < R ), ρ 使点z含在 Γ ρ的内部(图4.1中虚线表).
=1 = e ,n = 0 ,1 , 2 ,K z=0 z (n) 2 n ( e ) z=0 1 z z z cn = = e = 1 + z + +K+ +K n! n! 2! n!
解： ( e )
z ( n) z
( e z )( n )
类似地， 处的Taylor展开式 类似地，sinz, cosz在z=0处的 在 处的 展开式
第四章 解析函数的级数表示
z − z0 是一致收敛的, 级数∑(ζ − z ) 在 Γ ρ上(关于ζ)是一致收敛的,与 Γ ρ上 n=0 0 相乘, 上的一致收敛级数。 的有界函数 f (ζ )相乘,仍然得到Γ ρ 上的一致收敛级数。 ζ − z0
∞ n
1 逐项积分： 逐项积分： ( z ) = ∑ f n= 0 2π i