i f
(z)
n0
1
2
i
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n! .
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
z z0 z0
从而 z z 0 1 z0
因为 1 z(z0)1 (zz0) 1z01z1 zz0 0
根据
1
zn,
(| z|1)
1z n0 .
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
正整数）。
解：先计算展开系数
f(z)(1z)m
f (0) 1m
f'(z)m(1z)m1
f '(0) m1m
f''(z)m (m 1 )(1z)m 2
f''(0)m(m1)1m
f(3 )(z ) m (m 1 )(m 2 )( 1 z )m 3
……
f(3)(0 )m (m 1 )(m 2 )1 m
值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z)lnz f(1)ln1n2i
f '( z ) 1 z
f '(1) 1
1! f ''( z) z 2
f ''(z)1!
f (3) (z) 2! z3
……
f (3) (z) 2!
于是可写成 z 0 1
在邻域上的泰勒级数 .
lnzln11(z1)1!(z1)22!(z1)3
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,L )
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。 .
(1z)m 1mm1mzm(m1)1mz2
1!
2!
m(m1)(m2)1mz3 L
3!
.
易求其收敛半径为1，故
( 1 z ) m 1 m { 1 m z m ( m 1 ) z 2 m ( m 1 ) ( m 2 ) z 3 L } , ( z 1 )
1 ! 2 !
3 !
式中 1m(ei2n)mei2nm
在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z )m 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式
定理。
.
二、当 f ( z ) 较复杂时，求 f (n) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及
幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展
cosz1z2z4z6L 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
.
例3.3.3 在 z 0 1 的邻域把 f (z)lnz 展开。
解：多值函数 f (z)lnz 的支点在 z0,z
现在展开中心 z 0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单
1!
2!
3!
n2i(z1)(z1)2 (z1)3 (z1)4 L
2
3
4
可以求得上式的收敛半径为1。因此
(z 1 )2 (z 1 )3
ln z n 2i (z 1 ) L (z 1 ) 23
上式n＝0的那一个单值分支叫作 l n z 的主值。
.
例3.3.3 在 z 0 0 的邻域把 f(z)(1z)m 展开（m不是
n0 n!
级数。 .
【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为
中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
gz
z0
C
由柯西积分公式知
R
f
(z)
1 2πi
i
C
f
( )d
z
(3.3.2)
.
其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
且在 z 0 0 有 f1' (0) 1 f1'' (0) 0
f (3)
1
(0)
1
f (4)
1
(0)
0
故有
z z3 z5 z7 sinz L
1! 3!. 5! 7!
同样的方法，可求得 cos z 在 z 0 0 邻域上的泰勒级数
f (z) an (z z0 )n , (| z z0 | R) (3.3.1) n0
i 其中
1
an 2i
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(nபைடு நூலகம் 0,1, 2,L ) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数
f (n) (0)zn 称为麦克劳林
开成幂级数，基本展开公式如下：
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
为直接展开法. 例3.3.1 在 z 0 0 的邻域上把 f (z) ez 展开。 解：函数 f (z) ez 的各阶导数 f (k)(z) ez 而
f(k)(z0)f(k)(0)1 故 f (z) ez 在 z 0 0 领域上的泰勒级数写为
ez 1zz2 z3 L 易求收敛半径无限大 1! 2! 3! .
例3.3.2 在 z 0 0 的邻域把 f1(z)sinz 和 f2(z)cosz
展开。
解： 函数 f1(z)sinz 的前四阶导数分别为 f1'(z) cosz
f1''(z)sinz f1(3)(z)cosz f1(4)(z)sinz
3.3 泰勒级数展开
.
3.3 泰勒级数展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
.
3.3.1泰勒级数
泰勒(Taylor)展开定理 设 f (z) 在区域 D：| z z0 | R 内 解析，则在 D 内 f (z) 可展为泰勒级数