z z0 z z0 令 q， z z0 r
q与积分变量z无关, 且0q<1.
K
z z z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
泰勒级数
设函数f ( z )在区域D内解析，而 z z0 r为D内以z0为 中心的任何一个圆周，记作K，圆周及它的内部全含于D， 又设z为K内任一点。
z
z
z0
K
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
.
z
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+. 同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z3 z5 sin z z 3! 5! z2 z4 cos z 1 2! 4!
z 2 n 1 (1) (2n 1)!
n 2n z (1) n (2n)!
z z
除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用 幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的 泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰 勒展开式也可以用间接展开法得出:
N 1
由解析函数高阶导数公式,上式可写成
f ( z)
n 0 N 1
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n RN ( z ) n!
其中
K
z z z0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 RN ( z ) 2πi
f (z ) n ( z z0 ) d z n 1 (z z0 ) K n N
f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
成立 , 其中
1 (n) cn f ( z0 ), n 0,1, 2, n!
.
注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点 a 的距离, 即R=|a-z0|.
1 iz iz 1 (iz ) n (iz ) n sin z (e e ) 2i 2i n 0 n ! n 0 n ! 2 n 1 z3 z5 z z (1) n z 3! 5! (2n 1)! n 0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果能证明 lim RN ( z ) 0在K内成立, 则
N
f ( z)
n 0

f
(n)
( z0 ) ( z z0 ) n n!
在K内成立, 即 f (z)可在K内 用幂级数表达.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此, 下面的公式在K内成立:
f ( z)
n 0
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的 级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数.
圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所 以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z) 在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|<d 内成立.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为 D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则 当|z-z0|<d 时,
复变函数与积分变换
y
Complex Analysis and Integral Transform
a
z0
x
任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 1 (n) cn f ( z0 ) (n 0,1,2,) n! 把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展开法
1 | RN ( z ) | 2π 1 2π
K

f (z ) n ( z z ) ds 0 n 1 n N (z z 0 )

| f (z ) | z z0 n ds | z z0 | z z0 n N K 1 M n Mq N q 2π r N 0 2π n N r 1 q
按柯西积分公式, 有 且
1 f ( z) 2πi
f (z ) dz , z z K
1 1 1 1 z z (z z0 ) ( z z0 ) z z0 1 z z0 z z0 由于积分变量z 取在圆周K 上, 点z在K的内部,
z z0 ( z z0 ) n 1 所以 1, z z0 z z n 0 (z z0 ) n 1
K
z z z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 f (z ) d z n f ( z) ( z z ) 0 n 1 2 π i ( z z ) n 0 0 K 1 f (z ) n ( z z0 ) d z . n 1 2 π i K n N (z z0 )
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有
2 z ez 1 z 2!
zn n!