三、解答题1.( 2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题，第1小题满分 已知椭圆C 的两个焦点分别为只(1,0)、F 2(1, 0),短轴的两个端点分别为B (1) 若RBB2为等边三角形,求椭圆c 的方程；ujir (2) 若椭圆C 的短轴长为2 ,过点F 2的直线I 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F 1P2 2【答案】［解］(1)设椭圆C 的方程为x 2y 2 1(a b 0).a ba 2b2 42 1根据题意知。

…，解得a 2 4, b 2' a 2 b 21 332 2故椭圆C 的方程为X y 1.41 3 32⑵ 容易求得椭圆C 的方程为X y 21.2当直线I 的斜率不存在时，其方程为x 1,不符合题意; 当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y k(x 1).设 P(X 1，yJ ，Q(X 2, y 2),则unr uuir uir uur 因为F 1P F 1Q ,所以F 1P FQ 0,即4分,第2小题满分9分.B 2uurFQ ,求直线I 的方程•y k(x 由x22—y 21)x 2 4k 2x 2(k 21) 0.x X 24k 2 2k 2严2(k 2 2k1) uiruuir(X 1 1,yJ, FQ (X 2 1小)1)得(2k 2 1解得k 21,即k 7所以，a 2. 又由已知，c 1,所以椭圆C 的离心率e C 12a V 222X2由 知椭圆C 的方程为—y 1.设点Q 的坐标为(x,y).⑵ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx 2 .因为M,N 在直线I 上，可设点M,N 的坐标分别为(石，心 2),(x 2,kx 2 2),则2 2(k1)x 1x 2 (k 21)(x 1 x 2) k 17 k 2 1 2 k 2 10,故直线l 的方程为x7y 10 或 x 7y2. (2013年高考四川卷(理)) 2已知椭圆C : x 2 a 2y 2 1,(a b 0)的两个焦点分别为 R( b1,0),F 2(1,0),且椭圆(I )求椭圆C 的离心率；(n )设过点 A(0,2)的直线I 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且1 ,22 | AQ|2| AM |2 ,求点Q 的轨迹方程•|AN |2【答案】解:2a PF 1PF 2(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于0,1 , 0, 1两点，此时Q 点坐标为0,22 2 2 2AM | (1 k2)x；,AN (1 2 2k )X2 . 又AQ (1 k2)x2.AM2k2x1k2AN—2X111 k2X22,即12X2X1X22X X222x1x22kx 2代入y21中,得2k28kx8k 2k2 1 6 0,得k2由②可知x!X2代入①中并化简，得8k2k21,X1X218210k2 3因为点Q在直线y kx 2上，所以3由③及k2,可知02 x2；,即xy 2,代入③中并化简，得10x26,0 0, 6223x218.又0,2 聖5满足105 3x218,故x由题意，Qx, y在椭圆C内部，所以1, 又由10 y 18 3x2有所以点Q的轨迹方程是10 y 3x218 ,其中, 1,2 23.( 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆2C :x2a2；2 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1, F2,离心率为3,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆2C截得的线段长为1.M (m,0),求m 的取值范围----------------- umv ujuv ujuv uuuv uuv ujuv uuuv ujuv(n )由题意可知：UJUV uUJv = UUUV uUJv , PF Uuu/M = PF Juuv M ，设 P(x o ,y 0)其中 x 2 4,将向量坐标代|PF 1||PM| |PF 2||PM| |PR| IPF 2I2 3 2入并化简得：m(4x° 16) 3x 0 12x 0,因为x 0 4,33 3 所以 m — x °,而 X o ( 2,2),所以 m (—,—)42 22X (3分+5分+8分)如图，已知曲线 G ：21,曲线C 2 :| y | | x| 1 ,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与G ,C 2都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点” (1)在正确证明 G 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线 ，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);2【答案】解：(I )由于c2a .2b ,将x2b 212e由题意知 a,即a 2b又所以a 2, b1 所以椭圆方程为2 xC 代入椭圆方程a2b 2 1得yb 2 aC 3a22x— y 1 44.( 2013年高考上海卷(理))【答案】：(1)C 1的左焦点为F (3,0),过F 的直线x与C 交于(\3,/)，与C 2交于(J 3, W3 1)),故C 的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x5 .( 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))如图，点P(0, 1)是椭圆2 2C 1: —— 1(a b 0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2: x 2a by 2 4的直径.h, I ?是过点P 且互相垂直的两条直线，其中h 交圆C2于两点，I2交椭圆G 于另一点D (1)求椭圆G 的方程2【答案】解：(I )由已知得到 b 1,且-a 4 a -,所以椭圆的方程是 X y - 1；46.( 2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如题轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点 (1)求该椭圆的标准方程；,过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外 .若，求圆的标准方程.a - 0 a (0,1) X (0,1), y (0,1).(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在⑵ 取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点7.( 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)设椭圆2 E :2a2—y 2 1的焦点在X 轴上1 a - (I )若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;( n )设F 1,F -分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F ?P 交y 轴与点Q ,并且RPFQ ,证明：当a 变化时，点p 在某定直线上【答案】解：(I) a 21 a - ,2C 1,a -1 a -椭圆方程为：8x 28x 21.5 3设F 1 ( c,0), F 2(C ,0),P(X , y),Q(0, m),则F ?P (x C , y),QF 2(C , m).(X c, y),RQ (c,m).由F 2P//QF2FP—— m(c X ) F 1Q得:C (X C )yc my 02 2已知圆：，圆:，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (i )求C 的方程；(n )是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线C 交于A,B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【答案】由已知得圆的圆心为 (-1,0)，半径=1,圆的圆心为(1,0)，半径=3. 设动圆的圆心为(,)，半径为R.(I 厂•圆与圆外切且与圆内切，•••|PM|+|PN|===4,由椭圆的定义可知，曲线C 是以M,N 为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为• (n )对于曲线 C 上任意一点(,)，由于|PM|-|PN |= < 2, • R W 2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2. •当圆P 的半径最长时，其方程为， 当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由MR 知不平行轴，设与轴的交点为 Q,则=,可求得Q(-4,0), •••设:,由于圆M 相切得，解得. 当=时，将代入并整理得，解得=,• |AB|==. 当=-时，由图形的对称性可知|AB|=, 综上,|AB|=或 |AB|=.31 9【答案】解：(1)由P(1,)在椭圆上得,221①2a 4b依题设知a 2c ,则b 2 3c 2 ②②代入①解得c 2 1,a 2 4,b 2 3.（X c ）（xc ） y 1 2x2a2 2c .联立 x2a1 2y 1 y2" a2 c 2a解得 2c2x 2 x 2y 21 2y2 1（y 1）2-（o,i ）,y（0,1） X 1 y 所以动点P 过定直线x y 10.C.8 (2013年高考江西卷2x （理））如图,椭圆C : 2 a 2+古3 1 =1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e 二一，直线I 的方程为x=4 .2 22 2故椭圆C 的方程为x y 1.4 3⑵方法一：由题意可设 AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y k(x 1)③代入椭圆方程3x 2 4y 2 12并整理，得(4k 2 3)x 2 8k 2x 4(k 2 3) 0, 设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2),则有32k2 x 1 x 21),则直线FB 的方程为：y —y ^(x 1),X 。

1令 x 4,求得 M (4, 3y o ),X o 12 28k3级第3)④4k 2在方程③中令 x 4得，M 的坐标为(4,3k).3 从而 k 1 ------- 2, k 2x 1y 1 3 x 2 13k 3 ___ 2 4 1注意到A,F,B 共线，则有k k AFk BF ,即有y 11y 21所以k 1 k 23 y1 2 x 1 13 y2 — 72 2 x 2 1y 1x 1 1 y 2 x 2 1 3( 2 x 1 1 X212)④代入⑤得K k 2 2k8k22 3 4(k 2 3) 8k 2 4k 2 34k 2 3 4k 22k 11, 又k 3 k12,所以k1k 2 2 k g .故存在常数2符合题意.x 1x 2 (x-1 x 2)方法二：设 B(x o ,y o )(x o从而直线PM的斜率为k32y o x o 1 2(x o 1)y y\(x 1)联立X。

1，得A(5X O 8 3y o), X2y 42X0 5‘2X0 5———14 3则直线PA的斜率为：匕2y0 2X0 5,直线PB的斜率为：k22 y2(X031)'所以k1k22y—2X—52(X0 1)2(X0 1)2 y32(X0 1)2y；0；1 2k3,故存在常数2符合题意•9.( 2013年广东省)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F 0,c c 0到直线I: X y 2 0的距离为3 2设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线P代PB ,其中A,B为切点•2(I)求抛物线C的方程；(n)当点P X o,y。