解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。

2.（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点. 求证：点1F 在以MN 为直径的圆上.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围.4.（本小题13分）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.已知点3(1,)2P在椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>上，(1,0)F是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被直线32y=截得的弦长是定值．6．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y+=和椭圆22:24C x y+=，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（,P Q不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为||PF．试判断直线l与圆F的位置关系，并证明你的结论．已知动点M到点(1,0)N和直线l：1x=-的距离相等.（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线'l与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．第三类题型 设点问题专项训练1.（本小题满分14分）已知椭圆：22214x y b+=(0)b >的一个焦点坐标为0). （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆与轴交于，两点（点在点的上方），是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点，直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．2.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，长轴长为． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点．求证：过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点．W W W y A B A B M A B M MN y ⊥N E MN AE 1y =-C G BC O OEG ∠2222:1(0)x y C a b a b +=>>3C M O O M 3x =N M ON l C3.（本小题满分14分）已知椭圆，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．4.已知椭圆C ：+=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN|•|BM|为定值．2222:1(0)x y C a b a b+=>>C C A C B x C P 90APB ∠=B第四类题型 特殊图形问题（包括等腰三角形 平行四边形 矩形菱形 等腰梯形）1.(本小题满分14分)已知椭圆22:416C x y +=.(I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系2．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．3.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为．过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程4.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件： ①点A 在直线2y =上； ②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.5.（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b+=的一个焦点为(2,0)F，且离心率为3．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点F ，且与椭圆交于两点，P 为直线3x =上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程.6.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点.M 判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.B A ,第五类题型 定值问题1.（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F ()1,0作斜率为()0k k ≠的直线l ，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，求证：||||MN PF 为定值．2.（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且点()2,1T 在椭圆上.设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，直线,TP TQ 分别与x 轴正半轴交于,M N 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论.已知椭圆E:22221x ya b+=(0)a b>>的离心率2e=，焦距为（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若,C D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足MD CD⊥，连接CM，交椭圆E于点P．证明：OM OP⋅为定值（O为坐标原点）．4．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为(1,0)F，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离，证明：△ABF的周长为定值．C已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,1)．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ． 记直线l 与x 轴的交点为N ，问,B N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．6.（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．第六类题型 角度与斜率问题1．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．2.（本小题14分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率等于2，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3.（本小题共14分）已知椭圆G :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点.判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由.4． (本小题满分14分)CY已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明．5.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．6．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =．求直线AB 的斜率．7.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，点P （0，1）和点A （m ，n ）（m≠0）都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM=∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 8.．（12分）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．⑴当与轴垂直时，求直线的方程； ⑵证明：．22C y x =：()20A ，()20B -，A l C M N l x BM ABM ABN =∠∠第七类题型 三点共线问题1．（本小题共14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若MB AM 2=，求直线的方程.2.本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .l l第八类题型 综合题型1.（本小题14分）已知椭圆经过点，且离心率为．（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线（与x 轴不重合）与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)M m ，求实数m 的取值范围．2.（本小题14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.()2222:10x y E a b a b+=>>(0,1)2l ,A B 123.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = （1） 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.4.已知椭圆G ：2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程6.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x 交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上．7．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．8．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C FP FA FB ++=0FA FP FB解析几何大题专题答案第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．因为椭圆的离心率是，所以 ， 即 ．[ 1分] 由 解得 [ 3分]所以椭圆的方程为．[ 4分]（Ⅱ）将代入， 消去整理得．[ 5分] 令，解得． 设．则，． 所以[ 6分]点到直线的距离为．所以的面积，[ 8分] 2222:1(0)xy C a b ab+=>>c C 22222222112c a b b a a a -==-=222a b =22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 22142x y +=2y m =+22142x y +=y 2220x m +-=2224(2)0m m ∆=-->22m -<<1122(,),(,)A x y B x y 12x x +=2122x x m =-AB ===P 0x -=d ==PAB △12S AB d =⋅||m 2=当且仅当时，．所以． （Ⅲ）．证明如下：[10分] 设直线，的斜率分别是，， 则[11分]由（Ⅱ）得，所以直线，的倾斜角互补．[13分] 所以，所以．所以．[14分] 2. （本题共14分）解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=，32222==a c e，故36=e .（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧=-+=+023322y x my x ，得到03122=-+m x x 12-4， 依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，12|PQ x x =-==，原点到直线l 的距离2=dm =S =PAB △||||PM PN =PA PB 1k 2k 12k k +==1221(1)((1)(y x y x -+--12211)(1)(m x m x =+-++--1212(2)()1)x m x x m =+-+--22)(2)()1)m m m =-+---0=PA PB 12∠=∠PMN PNM ∠=∠||||PM PN =所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅==解得 73m =>1 故椭圆方程为223177x y +=. （Ⅲ）直线l 的垂线为:ON y x =，由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ， 因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1.3．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+， 所以22224,3a c b c ==设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b ===椭圆方程为2211612x y +=（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+1216||2x x =⨯⨯-==………13分 当0t =时，S最大为 (1)4（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：， 所以，， 故， 所以椭圆的方程为.因为， 所以离心率（Ⅱ）解：设线段的中点为，因为，所以， 由题意，直线的斜率存在，设点，则点的坐标为， 且直线的斜率， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：. 令，得，则， 由，得，化简，得. 所以四边形的面积221113x y m m+=21a m =213b m=2a =16m =C 22162x y +=2c c e a ==AP D ||||BA BP =BD AP ⊥BD 000(,)(0)P x y y ≠D 003(,)22x y +AP 003AP y k x =-BD 031AP x k y --=BD 000033()22y x x y x y -+-=-0x =2200092x y y y +-=220009(0,)2x y B y +-2200162x y +=220063x y =-20023(0,)2y B y --OPAB OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯当且仅当，即时等号成立. 所以四边形面积的最小值为5.海淀理（本小题共14分）解：（Ⅰ）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c ==故椭圆C 的焦距为2c =离心率c e a ==（Ⅱ）法一：设00(,)P x y （00x >，00y >）， 则220014x y +=，故220014x y =-． ····6 所以2222220003||||||14TP OP OT x y x =-=+-=，所以0||TP =，········· 801||||24OTP S OT TP x ∆=⋅=． ··9又(0,0)O ，F ，故00122OFP S OF y y ∆=⋅=．····· 10分 因此00()2OFP OTP OFPT x S S S y ∆∆=+=+四边形 ········11分 22== 由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤， 所以22OFPT S =≤四边形， ··········· 13分 当且仅当2200142x y ==，即0x 02y =时等号成立. ·· 14分（Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02πθ<<）， ·········· 6分则222222||||||4cos sin 13cos TP OP OT θθθ=-=+-=，2000233(||||)22y y y --=+0033(2||)22||y y =+32⨯≥=00322y y =0[y =OPAB所以||TP θ=，1||||cos 22OTP S OT TP θ∆=⋅=．又(0,0)O ，F ，故0122OFP S OF y θ∆=⋅=．因此(cos sin )2OFP OTP OFPT S S S θθ∆∆=+=+四边形)242πθ=+≤，当且仅当4πθ=时，即0x =02y =时等号成立． ······ 14分6. 解：（I ）由抛物线C ：y 2=2px 经过点P (2，2)知44p =，解得1p =. 则抛物线C 的方程为22y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)2，准线方程为12x =-.………………4分（II ）由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ty a =+，由2,2x ty a y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2y y t y y a +==-.因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=， 解得120y y =（舍）或124y y =-. 所以24a -=-.解得2a =. 所以直线AB ：2x ty =+. 所以直线AB 过定点(2,0).12122AOB S y y ∆=⨯⨯-==≥4=.当且仅当122,2y y ==-或122,2y y =-=时，等号成立. 所以AOB ∆面积的最小值为4.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）（Ⅰ）由已知，得知，, 又因为离心率为，所以. 因为，所以所以椭圆的标准方程为.(2).假设存在，记. 设 由已知可得， 所以的直线方程为， 的直线方程为， 令，分别可得，， 所以 因为为直径，所以所以所以 因为点在椭圆上，所以， 代入得到 2AB =22b =1b=22c a =222a b c =+2,a =C 2214x y +=(20)D ，00(,) (4,) (4,)P x y M m N n (0,1) (0,1)A B -AP 0011y y x x -=+BP 0011y y x x +=-4x =004(1)1y m x -=+004(1)1y n x +=-004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-，MN 0DM DM ⋅=DM DN ⋅=00004(1)4(1)(2,1)(2,1)0y y x x -++⋅-=22002016(4)40y x DM DN x --⋅=+=P 220014x y +=22200000220048840x x x x x DM DN x x -+--⋅=+==所以 ，这与 矛盾 所以不存在2．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为 ，则.…………………….…2分得 .…………………….…4 ，所以椭圆方程为 .…………………….…5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得.当直线不存在斜率时，可得直线方程为，令得,同理，得. 所以,得.所以,在以为直径的圆上. .…………………….…7分 当直线存在斜率时，设方程为，、.由可得.显然,, 直线方程为，得 ,08x =0[2,2]x ∈-22221(0)x y a b a b +=>>222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩2,a b ==221.43x y +=(2,0)A PQ 33(1,),(1,)22P Q ---AP ()122y x =--4,x =-(4,3)M -(4,3)N --()()113,3,3,3FM F N =-=--110F M F N ⋅=190MF N ∠=︒1F MNPQ PQ ()1y k x =+()11,y x P ()22,y x Q ()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22223484120k x k x k +++-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++AP 11(2)2y y x x =--116(4,)2y M x ---同理，. .…………………….…9分所以.因为所以所以所以,在以为直径的圆上. 综上，在以为直径的圆上.3.（Ⅰ）解：由题意，得：4,a b c ⎧⎪⎨⎪⎩== 又因为222c b a +=解得a 1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为1222=+y x .（Ⅱ）解：（方法一）当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为0=x ， 此时E ，F 为椭圆的上下顶点，且2=EF ，226(4,)2y N x ---12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2()()11221,1y k x y k x =+=+2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==-110F M F N ⋅=90MFN ∠=︒F MN F MN因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内，且0m >， 所以10<<m .故点B 在椭圆内. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， 因为点B 在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 有两个公共点，即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km .设),(),,(2211y x F y x E ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+. 设EF 的中点),(00y x G ， 则12222210+-=+=k kmx x x ，12200+=+=k m m kx y ， 所以)12,122(22++-k mk km G . 所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m ，2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k. ………………11分 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内， 所以2EF DG <对于k ∈R 恒成立.所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简，得1323722422242++<++k k m k m k m ，整理，得31222++<k k m ，而2221221()113333k g k k k +==--=++≥（当且仅当0=k 时等号成立）.所以312<m ， 由0>m ，得330<<m . 综上，m 的取值范围是330<<m .（方法二）则122421kmx x k -+=+，21222221m x x k -=+.因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以0DE DF ⋅<. 因为11(,)DE x y m =+，22(,)DF x y m =+， 所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++22222224(1)2402121m kmk km m k k --=+++<++，整理，得31222++<k k m .4. （本小题13分）解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==椭圆C的短轴长为2b =离心率为c e a ==.（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y 2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= 22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+PM PN ⋅1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0< 故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-=22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T ky k x k =-=-+222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++ 22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++ 此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++5（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为，且．因为，所以，，所以椭圆的方程为． （Ⅱ）证明：由题意可知，两点与点不重合．因为，两点关于原点对称，所以设，，． 设以为直径的圆与直线交于两点， 所以．直线：． 当时，，所以． 直线：． 当时，，所以． 所以，， 因为，所以，所以． 分 因为，即，， 所以，所以． )0,1(-'F 1=c 4)23(0)23(222222=+++=a 2a=b =C 13422=+y x D E P D E (,)D m n (,)E m n --)1(±≠m MN 32y =33(,),(,)(0)22G t H t t ->GM GN ⊥PD )1(12323---=-x m n y 0=x 23123+---=m n y )23123,0(+---m n M PE )1(12323-++=-x m n y 0=x 23123+++-=m n y )23123,0(+++-m n N 32(,)1n GM t m -=---32(,)1n GN t m +=--+GM GN ⊥0GM GN ⋅=2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-13422=+n m 124322=+n m 223394m n -=-2304t -=23=t所以，， 所以． 所以以为直径的圆被直线． 分 6．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为． [ 1分]所以 ，，从而 ． 因此 ，． 故椭圆的离心率． 椭圆的左焦点的坐标为．（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下：设，其中，则，依题意可设，则．直线的方程为， 整理为 ．所以圆的圆心到直线的距离 ． 因为 ． 所以 ，即 ，所以 直线与圆相切． 7.解：（Ⅰ）设动点，由抛物线定义可知点的轨迹E 是以为焦点，直线l ：为准线的抛物线，所以轨迹E 的方程为.（Ⅱ）法2：依题意可设直线，)23,23(G )23,23(-H GH =MN 23=y C 22142x y +=24a =22b =2222c a b=-=2a=c =C ce a==C F (l F 00(,)P x y 022x -<<220024x y +=01(,)Q x y 22014x y +=l 0101()x y y x x y -=--0140x x y y +-=F F l 0|2|d =+22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++22||PF d =||PF d =l F (,)M x y M (1,0)N 1x =-24y x =':,(0)l y kx b k =+≠由可得（*）， 因为直线与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线的交点为，所以即 所以（*）可化简为， 所以. 令得， 因为， 所以，所以点在以PA 为直径的圆上.第三类 设点问题专项训练1.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题意，，，所以.则椭圆的方程为.离心率.(Ⅱ)设，，则，． 又，所以直线的方程为． 令，则．又，为线段的中点，所以． 所以，，．2,4y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩2222(2)0k x bk x b +-+='l l P 0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩222140k x x k-+=212(,)A kk 1x =-1(1,)P k k --22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=NA NP ⊥N C 2a=c =2221b a c =-=W 2214x y +=2c e a ==M 00(,)x y 00x ≠N 0(0,)y E 00(,)2x y A (0,1)AE 002(1)1y y x x --=1y =-C 00(,1)1xy --B (0,1)-G BC G 00(,1)2(1)x y --00(,)2xOE y =0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)x x y y y =-++-因为点在椭圆上，则，所以． 则．因此．故． ……………14分 2（共13分）解：（Ⅰ）由题意得解得．所以．所以椭圆的方程为． （Ⅱ）由题意知，圆的方程为．设，， ．由，得， 即， 即． 因为，所以．当时，，直线的方程为，直线过椭圆的右焦点．当时，直线的方程为，即，即，直线过椭圆的右焦点． 综上所述，直线过椭圆的右焦点． 3.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得． 解得 ，M W 220014x y +=220044x y =-200014(1)x OE GE y y ⋅=-+-0011y y =--+0=OE GE ⊥90OEG ∠=23a c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩1c =2222b a c =-=C 22132x y +=O 223x y +=(3,)N t 00(,)M x y 22003x y +=22||3||ON MN =+22220033(3)()+t x y t =+-+-2222000093692t x x y ty t +=+-++-+2200003620x x y ty +-+-=22003x y +=00330x y t +-=0t =01x =l 1x =l C (1,0)F 0t ≠MN 003()y y x x t-=--0033ty ty x x -=-+3(1)ty x =--l C (1,0)F l C (1,0)F C c c a =ab =222a b c =+2a =b所以椭圆的方程为 ． [ 5（Ⅱ）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立”． 依题意，．设，，则， [ 7分] 且 ，即 ． [ 9分]将 代入上式，得 ． [10分] 因为 ， 所以 ， 即 ．所以 ， 解得 ，所以 点横坐标的取值范围是．4.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，又△OAB 的面积为1，可得ab=1， 且a 2﹣b 2=c 2， 解得a=2，b=1，c=， 可得椭圆C 的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P （x 0，y 0）， 可得x 02+4y 02=4， 直线PA ：y=（x ﹣2），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=|1+|；直线PB ：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，C 22142x y +=C P 90APB ∠=P 0PA PB −−→−−→⋅=(2,0)A (,0)B t (,)P m n 2224m n +=(2,)(,)0m n t m n --⋅--=2(2)()0m t m n --+=2242m n -=2(2)()204m m t m ---+=22m -<<202mt m +-+=22m t =+2222t -<+<20t -<<B (2,0)-则|AN|=|2+|．可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|=||=||=||=4，即有|AN|•|BM|为定值4．第四类题型 特殊图形问题（包括等腰三角形 平行四边形 矩形菱形 等腰梯形）1.解:(I)由题意,椭圆的标准方程为,所以,因此故椭圆的离心率. .................4分 (II)由得,由题意可知. 设点的坐标分别为,的中点的坐标为,则, 因为是以为底边,为顶点的等腰三角形,所以,因此的斜率.又点的坐标为,所以 即,亦即,所以,故的方程为.C 221164x y +=2222216,4,12从而a b c a b ===-=4,a c ==C 2c e a ==221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩()22148120k x kx ++-=0∆>,E F ()()1122,,,x y x y EF M (),M M x y 1224214M x x k x k +==-+1221214My y y k +==+BEF ∆EF B BMEF ⊥BM 1BM k k=-B()0,2-222122381440414M BM M y k k k k x k k ++++===---+()238104k k k k+-=-≠218k =4k =±EF 440y -+=又圆的圆心到直线的距离为, 所以直线与圆相离2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．[ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[ 3分]设椭圆C 的半焦距为c，则c ==[ 4分] 所以椭圆C的离心率c e a==[ 5分] （Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． 若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， 所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+， 整理得002, 3x t y t =-=-．[10分] 将上式代入220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， 整理得2528360t t -+=， 解得185t =，或2t =．[13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形， 所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．[14分3.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，2212x y +=()0,0OEF 32d ==>EF由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k+=+． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=， 即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． ……… 14分 4.解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=.（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ， 线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t .由2233,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-= 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<.因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==.因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<- 因为 点C 在椭圆M 上， 所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾所以 不存在满足题意的菱形ABCD . 5.解（Ⅰ）依题意有2c =，c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=．（Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+．则=y ]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231ky k =-+．直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =，所以2023(1)(31)P k MP x x k +=-=+． 当△ABP 为正三角形时，，223(1)(31)k k +=+ 解得1k =±． 即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=． 6.解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2． 又因为，所以c=1，所以b 2=a 2﹣c 2=3，所以椭圆C 的方程为．（Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形． 由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以AP ∥MQ ， 所以，所以．设点M （x 1，y 1），P （4，t ）， 过点M 作MH ⊥AB 于H ，则有，所以|BH|=1，所以H （1，0），所以x 1=1， 代入椭圆方程，求得，所以P （4，±3）．AB MP 23=第五类题型 定值问题1.（Ⅰ）根据题意 解得：所以椭圆的方程为（Ⅱ）设直线的方程为由 得 由得且设，线段中点那么，设，根据题意所以，得 所以所以2.（本小题14分）（Ⅰ）由题意，22212b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2212x y +=l (1)y k x =-2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2222(21)4220k x k x k +-+-=0∆>k R ∈0k ≠1122(,),(,)M x y N x y MN 00(,)Q x y 2122421k x x k +=+21222221k x x k -=+212000222,(1)22121x x k kx y k x k k +-===-=++(,0)P p PQ MN ⊥20202121221ky k k x p k p k -+==---+2221k p k =+22221||12121k k PF k k +=-=++||MN =22)21k k +=+||||MN PF =222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩解得：，， 故椭圆的标准方程为 5 （Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为，即。