则导出组 AX O 的通解是什么？ AX
的通解是什么？
（2）设 n 阶方阵 A 的各行元素之和为 0 ， r ( A) n 1 ，则齐次线性方程组
AX O 的通解是什么？
（3）设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 AX
的三个解，且 r ( A) 3 ，
1 (1,2,3,4) T , 2 3 (0,1,2,3) T ，则 AX 的通解是什么？
（4）已知 4 阶方阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 2 2 3 ， 如果 1 2 3 4 ，则线性方程组 AX
1 O, A 1 k 1 , A 2 l 1 k 2 , A 3 l 2 k 3
其中 k , l 都是数且 l 0 ，证明 1 , 2 , 3 线性无关。 8．求下列线性方程组的通解 （1）设 1 , 2 为非齐次方程组 AX
的两个不同解， A 是秩为 3 的 3 4 矩阵，
的三个解，求该方程组的通解。
1 1 2 10． 设 A 2 2 4 ，求一秩为 2 的三阶矩阵 B ，使得 AB O 。 3 3 6
11．设 为非齐次方程组 AX
的一个解，又1 , 2 , , r 是 AX 的导出组
AX O 的基础解系，证明：
（1） ,1 , 2 , , r 线性无关； （2） ,1 , 2 , , r 是 AX
的 r 1 个线性无关的解。
12．设 A 是 n m 矩阵， B 是 m n 矩阵，其中 n m ，若 AB E n ，证明： B 的列 向量组线性无关。 13．已知 m 个向量 1 , 2 , , m 线性相关，但其中任意 m 1 个向量都线性无关，证明： （1）如果等式 k1 1 k 2 2 k m m O ，则 m 个数 k1 , k 2 , , k m 或者全为 0 ， 或者全不为 0 。 （2）如果存在两个等式：
T T T T
当 a, b, c 满足什么条件时， （1） 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法唯一； （2） 不能由 1 , 2 , 3 线性表示； （3） 可由 1 , 2 , 3 线性表示，但表示法不唯一。 18． k 为何值时，线性方程组
第四章 线性方程组 补充题
1．设 1 (1,1,1), 2 (1,2,3), 3 (1,3, t ) ， （1）问 t 为何值时， 1 , 2 , 3 线性相关？ （2）问 t 为何值时， 1 , 2 , 3 线性无关？ （3）当线性相关时，将 3 表示为 1 , 2 的线性组合。 2．设向量组 1 , 2 , , t (t 2) 线性无关，令 1 2 3 t ，
k1 1 k 2 2 k m m O （1）和 l1 1 l 2 2 l m m O （2） ，
其中 l1 0 ，则
k k1 k 2 m 。 l1 l2 lm
14．已知向量组 ( I ) : 1 , 2 , , r 能由向量组 ( II ) : 1 , 2 , , s 线性表示，设
1 , 2 ,, s ( I )
线性无关的充要条件是，存在向量 可由向量组 ( I ) 线性表示，但不能由其中任何少于 s 个向 量线性表示。 5．设向量组 1 , 2 , , n 线性无关，证明；当且仅当 n 为奇数时，向量组
1 2 , 2 3 , , n 1 n , n 1
有无穷多解；
T
（2）若 X ( x1 , x 2 , , x n ) 为 AX
的解，则 x n 1 。
20．已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关，讨论：当向量组 a 2 1 , b 3 2 , a 1 b 3 线 性相关时，线性方程组
也线性无关。 6．证明 n 维列向量 1 , 2 , , n 线性无关当且仅当 n 阶行列式
D
1T 1 1T 2 1T n T T T 2 2 2 2 2 n
T T T n 1 n 2 n n



0。
7．设 A 是 n 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是 n 维列向量，且
1 1 2 2 P ， r s
其中 P 为 r s 矩阵，且向量组 ( II ) 线性无关，证明：向量组 ( I ) 线性无关的充要条件是 秩 ( P) r 。 15．设 A, B 都是 n 阶方阵，试证 r ( AB) r ( B) 当且仅当线性方程组 ABX O 的解 必为线性方程组 BX O 的解。 16．设 A ( aij ) mn 是 m n 矩阵， (b1 , b2 , , bn ) 是 n 维行向量，如果线性方程组
Hale Waihona Puke AX O 的解全是方程 b1 x1 b2 x 2 bn x n 0 的解，证明 可用 A 的行向量组
1 , 2 ,, m 线性表示。
17．设向量组 1 ( a,2,10) , 2 ( 2,1,5) , 3 ( 1,1,4) , (1, b, c) ，试问：
x1 x 2 x3 2 x 4 3 2 x 3 x ax 7 x 8 1 2 3 4 x1 2 x 2 3 x 4 4 x1 x3 (a 2) x 4 b 1
的解；且当方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。 21．设 A 为 n 阶矩阵， 1 , 2 , , n 是 n 个线性无关的 n 维列向量，证明：秩 ( A) n 的充要条件是 A 1 , A 2 , , A n 线性无关。
x1 x 2 kx3 4 2 x1 kx2 x3 k x x 2 x 4 2 3 1
有唯一解？无解？有无穷多解？若有解时，求其全部解。 19．设 1 , 2 , , n 为 m 维列向量，其中 1 , 2 , , n 1 线性相关， 2 , 3 , , n 线 性无关，又设 1 2 n ， A ( 1 , 2 , , n ) ，证明： （1）线性方程组 AX
T T
的通解是什么？
T
9．已知1 (1,1,0,2) , 2 (2,1,1,4) , 3 (4,5,3,11) 是线性方程组
a1 x1 2 x 2 a3 x3 a 4 x 4 d1 4 x1 b2 x 2 3 x3 b4 x 4 d 2 3x c x 5 x c x d 2 2 3 4 4 3 1
2 1 3 t , , t 1 2 t 1 ，证明 1 , 2 ,, t 线性无关。
3．设向量组 1 , 2 , , s 线性无关，向量 1 可由这组向量线性表示，而向量 2 不能 由这组向量线性表示，证明向量组 1 , 2 , , s , l1 2 线性无关（其中 l 为常数） 。 4．证明：向量组