2016-2017学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如果全集U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，则∁U M=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{5}D．{1，2，5}2．（4分）函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）3．（4分）一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．πD．4．（4分）下列各组中的函数f（x），g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=x+1，g（x）=C．f（x）=|x|，g（x）=D．f（x）=log22x，g（x）=2log2x5．（4分）设函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．B．16 C．D．46．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数B．f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数C．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数7．（4分）若函数f（x）=x2﹣a|x|+a2﹣3有且只有一个零点，则实数a=（）A．B．﹣C．2 D．08．（4分）把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=sin（2x+） B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x9．（4分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．10．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调递增，若f（2）=0，则使f（log x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（，）D．（，4）11．（4分）记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[0.5]=0，则方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．（4分）已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m 个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．2017二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）计算：lg﹣lg25=．14．（3分）在△ABC中，已知tanA=，则cos5A=．15．（3分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=．16．（3分）雾霾是人体健康的隐形杀手，爱护环境，人人有责．某环保实验室在雾霾天采用清洁剂处理教室空气质量．实验发现，当在教室释放清洁剂的过程中，空气中清洁剂的含剂浓度y（mg/m3）与时间t（h）成正比；释放完毕后，y与t的函数关系为y=（）t﹣a（a为常数），如图，已知当教室的空气中含剂浓度在0.25mg/m3以上时，教室最适合人体活动．根据图中信息，从一次释放清洁剂开始，这间教室有h最适合人体活动．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（10分）已知函数f（x）=，x∈[2，6]．（1）证明f（x）是减函数；（2）若函数g（x）=f（x）+sinα的最大值为0，求α的值．18．（10分）已知函数f（x）=sinx+cos（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x是第二象限角，且f（x﹣）=﹣cos2x，求cosx﹣sinx的值．19．（10分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠DAB=θ（0＜θ＜），L为等腰梯形ABCD的周长．（1）求周长L与θ的函数解析式；（2）试问周长L是否存在最大值？若存在，请求出最大值，并指出此时θ的大小；若不存在，请说明理由．20．（10分）已知函数f（x）=log a，g（x）=log a（x+2a）+log a（4a﹣x），其中a＞0，且a≠1．（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；（2）已知区间D=[2a+1，2a+]满足3a∉D，设函数h（x）=f（x）+g（x），h（x）的定义域为D，若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如果全集U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，则∁U M=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{5}D．{1，2，5}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，∴∁U M={3，4}．故选：B．2．（4分）函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：由题意得：1﹣2x＞0，解得：x＜0，故函数的定义域是（﹣∞，0），故选：D．3．（4分）一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．πD．【解答】解：∵半径是R的扇形，其周长为4R，∴扇形的弧长为2R，∴该扇形圆心角的弧度数为2，故选：B．4．（4分）下列各组中的函数f（x），g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=x+1，g（x）=C．f（x）=|x|，g（x）=D．f（x）=log22x，g（x）=2log2x【解答】解：A．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（0，+∞），所以定义域不同，所以A不是同一函数．B．f（x）的定义域为R，而g（x）==x+1，（x≠1），则g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），所以定义域不同，所以B不是同一函数．C．因为g（x）=|x|，所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以C表示同一函数．D．f（x））=log22x=x，则f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（0，+∞），所以定义域不同，所以D不是同一函数．故选：C．5．（4分）设函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．B．16 C．D．4【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=2﹣2=，f（f（2））=f（）=（）2=．故选：A．6．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数B．f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数C．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【解答】解：∵幂函数y=xα的图象过点（2，），∴=2α，解得α=，故f（x）=，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．7．（4分）若函数f（x）=x2﹣a|x|+a2﹣3有且只有一个零点，则实数a=（）A．B．﹣C．2 D．0【解答】解：函数f（x）=x2﹣a|x|+a2﹣3，f（﹣x）=（﹣x）2﹣a|﹣x|+a2﹣3=f（x），则f（x）为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，由于f（x）有且只有一个零点，则f（0）=0，即a2﹣3=0，解得a=，当a=时，f（x）=x2﹣|x|，f（x）的零点为0，，不合题意；当a=﹣时，f（x）=x2+|x|，f（x）的零点为0，合题意；故选：B．8．（4分）把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=sin（2x+） B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin2（x+）=cos2x，故选C．9．（4分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=的定义域为为：{x|x＞0，且x≠1}，当x∈（0，1）时，f（x）=＜0，图象在第四象限，故排除C，D，当x∈（1，+∞）时，f（x）=＞0，图象在第一象限，故排除B，故选：A10．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调递增，若f（2）=0，则使f（log x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（，）D．（，4）【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（2）=0，∴不等式f（log x）＜0等价为f（|log x|）＜f（2），即|log x|＜2，则﹣2＜log x＜2，解得＜x＜4，故选：D．11．（4分）记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[0.5]=0，则方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设y=[x]﹣x﹣lnx，则x＞0．①当x∈（0，1），y=[x]﹣x﹣lnx=﹣x﹣lnx，∵x∈（0，1）时，＜0，∴y=[x]﹣x﹣lnx=﹣x﹣lnx在（0，1）上是减函数，=+∞，当x=1时，y=0，∴方程[x]﹣x=lnx在（0，1]内有1 个实数根．②当x∈（1，+∞）时，[x]﹣x≤0，lnx＞0，∴[x]﹣x﹣lnx恒小于0，∴方程[x]﹣x=lnx在（1，+∞）内无实数根．综上，方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数为1个．故选：B．12．（4分）已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m 个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．2017【解答】解：分别画出函数y=sinx+1与函数y=的图象，由图象可知，两个图象共有m个交点，均关于（1，0）成中心对称，∴（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=m，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）计算：lg﹣lg25=﹣2．【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg（4×25）=﹣lg100=﹣2故答案为：﹣214．（3分）在△ABC中，已知tanA=，则cos5A=．【解答】解：在△ABC中，0°＜A＜180°，由tanA=，可得A=60°，则cos5A=cos300°=cos（360°﹣60°）=．故答案为：．15．（3分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：∵由函数图象可得：T=﹣，∴T=π，又T=，ω＞0，∴ω=2；∵点（，1）在函数图象上，可得：2•+φ=+2kπ，k∈Z，∴解得：φ=2kπ﹣．k∈Z，∵﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（0）=sin（2×0﹣）=﹣sin=﹣．故答案为：﹣．16．（3分）雾霾是人体健康的隐形杀手，爱护环境，人人有责．某环保实验室在雾霾天采用清洁剂处理教室空气质量．实验发现，当在教室释放清洁剂的过程中，空气中清洁剂的含剂浓度y（mg/m3）与时间t（h）成正比；释放完毕后，y与t的函数关系为y=（）t﹣a（a为常数），如图，已知当教室的空气中含剂浓度在0.25mg/m3以上时，教室最适合人体活动．根据图中信息，从一次释放清洁剂开始，这间教室有0.575h最适合人体活动．【解答】解：观察图象，当0≤t≤0.1时是直线，∴y=10t．当t≥0.1时，图象过（0.1，1），∴y=（）t﹣0.1，∴含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为：y=．由10t≥0.25，0≤t≤0.1，可得0.025≤t≤0.1；由（）t﹣0.1≥，解得t≤0.6，又t＞0.1，可得0.1＜t≤0.6，则0.1﹣0.025+0.6﹣0.1=0.575．由题意有0.575小时最适合人体运动．故答案为：0.575h．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（10分）已知函数f（x）=，x∈[2，6]．（1）证明f（x）是减函数；（2）若函数g（x）=f（x）+sinα的最大值为0，求α的值．【解答】解：（1）证法一：设2≤x1＜x2≤6，则=，…（4分）由2≤x1＜x2≤6，得x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，于是f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），…（5分）∴函数在[2，6]上是减函数．…（6分）证法二：∵函数f（x）=，∴f′（x）=，当x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，故函数在[2，6]上是减函数；（2）由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=1．…（8分）于是1+sinα=0，即sinα=﹣1，∴，k∈Z．…（10分）18．（10分）已知函数f（x）=sinx+cos（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x是第二象限角，且f（x﹣）=﹣cos2x，求cosx﹣sinx的值．【解答】解：（1）由=，∴f（x）最小正周期T=2π．由≤≤，k∈Z，得≤x≤，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由已知，有，于是，即．当sinx+cosx=0时，由x是第二象限角，知，k∈Z．此时cosx﹣sinx=．当sinx+cosx≠0时，得．综上所述，或．19．（10分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠DAB=θ（0＜θ＜），L为等腰梯形ABCD的周长．（1）求周长L与θ的函数解析式；（2）试问周长L是否存在最大值？若存在，请求出最大值，并指出此时θ的大小；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接BD，则∠ADB=90°，∴AD=BC=4cosθ．…（2分）作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，得AM=BN=ADcosθ=4cos2θ，∴DC=AB﹣2AM=4﹣8cos2θ．…（4分）∴△ABC的周长L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4﹣8cos2θ）=8+8cosθ﹣8cos2θ．…（5分）（2）令t=cosθ，由，知t∈（0，1）．则，…（8分）当t=，即，时，L有最大值10．∴当θ=60°时，L存在最大值10．…（10分）20．（10分）已知函数f（x）=log a，g（x）=log a（x+2a）+log a（4a﹣x），其中a＞0，且a≠1．（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；（2）已知区间D=[2a+1，2a+]满足3a∉D，设函数h（x）=f（x）+g（x），h（x）的定义域为D，若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由，整理得（x+2a）（x﹣2a）＞0，解得x＜﹣2a，或x＞2a，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2a）∪（2a，+∞）．…（2分）又∵=，∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为奇函数．…（4分）（2）由已知3a∉[2a+1，2a+]，∴2a+1＞3a，或2a+＜3a，即0＜a＜1，或a＞．…（5分）又∵要使g（x）有意义，就须使x+2a＞0，且4a﹣x＞0，即﹣2a＜x＜4a，结合（1）中f（x）的定义域知函数h（x）的自变量x须满足2a＜x＜4a．由题知h（x）在区间[2a+1，2a+]上有意义，∴解得a＞，∴＜a＜1，或a＞．…（6分）∵h（x）=f（x）+g（x）=+log a（x+2a）+log a（4a﹣x）=，∴|h（x）|≤2恒成立，即为||≤2恒成立．因为3a∉[2a+1，2a+]，所以h（x）≠2，即题意转化为对任意x∈[2a+1，2a+]，不等式﹣2≤应恒成立．…（7分）①当时，上式等价于a2＜﹣x2+6ax﹣8a2≤a﹣2应恒成立．由于左端a2＜﹣x2+6ax﹣8a2，即（x﹣3a）2＜0，显然不成立．…（8分）②当时，问题转化为a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2应恒成立．对于右端﹣x2+6ax﹣8a2＜a2，等价于（x﹣3a）2＞0，显然成立．研究左端≤0成立的条件．令，对称轴x=3a，开口向上．由知，故h（x）在区间[2a+1，2a+]上是减函数，∴h（x）max=h（2a+1），∴要使左端成立，只需h（2a+1）＜0成立，即需，也就是需2a3﹣a2﹣1＞0，也就是（a﹣1）（2a2+a+1）＞0，只须a＞1，而已知，故当时，不等式a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2恒成立．综上所述，满足条件的a的取值范围为（，+∞）．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。