高一数学下学期期末考试第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数积化和差公式 三角函数和差化积公式sin αcos ρ=21[sin(α+ρ)+sin(α﹣ρ)] sin α+sin ρ=2sin 2+ραcos 2ραcos αsin ρ=21[sin(α+ρ)﹣sin(α﹣ρ)] sin α﹣sin ρ=2cos 2+ραsin 2ραcos αcos ρ=21[cos(α+ρ)+cos(α﹣ρ)] cos α﹣cos ρ=2cos 2+ραcos 2ραsin αsin ρ=－21[cos(α+ρ)－sin(α﹣ρ)] cos α﹣cos ρ=--2sin 2+ραsin 2ραy=Asin ωx+Bcos ωx=22+B A sin(ωx+θ)，其中cos θ=22+BA A ，sin θ=22+BA B θ∈[)π2,0一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1． 用sin34π，cos 65π，tan 4π，cot 43π，2sin 3π·cos 3π作为集合A 中的元素，则集合A 中元素的个数为A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2．已知点（3，4）在角α的终边上，则sin α+cos α+tan α的值为 A 、37 B 、73 C 、2043 D 、1541 3．已知|a|=8, |b|=6, 向量a 、b 所夹角为120°,则|a ﹣b|为 A 、237 B 、37 C 、213 D 、134．已知集合M={a|a=2k π k ∈z} P={a|a=(2k+1)π k ∈z)} Q={a|a=(4k+1)π k ∈z} a ∈M, b ∈P 则a+b ∈（ ）A 、MB 、PC 、QD 、不确定5．若非零向量a 、b ，a 不平行b,且|a|=|b|，那么向量a+b 与a ﹣b 的关系是 A 、相等 B 、相交且不垂直 C 、垂直 D 、不确定 6．下列命题中正确的是 ①|a·b|=|a||b| ②(ab)2=a 2·b 2 ③a ⊥(b －c)则ab －ac=0 ④a·b=0,则|a+b|=|a －b| A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④7．在△ABC 中，∠B 为一内角，sinB －cosB>0, cotB<cosB, 则△ABC 为A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等边三角形8．下列不等式正确的是 A 、sin21<cos 31 B 、sin 21≤cos 31 C 、sin 21>cos 31 D 、sin 21≥cos 319．如图扇形ABB 1A 1的中心角APB=θ，θ∈（0，2π），设PA 1=x, AA 1=L, 给出下列四个结论①θ=xL ABx B A +=11 ②AB<AB ③θ=L B A AB 11- ④S 扇环A BB 1A 1=2θ(L 2+2Lx)其中正确的个数 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10．有向线段AB 上有异于A 、B 的100个等分点P 1P 2……P 100，则Pi(i=1、2、3…100)分有向线段AB 的比λ的最大值与最小值分别为A 、101，1021 B 、101，1011 C 、100，1001 D 、99，991 11．若函数y=cos(2x －3π)+1的图像按a =(h·k), (h>0, 且h 为最小角)平移后得到的图形是函数y=cos2x 的图像，那么a =（ ） A 、a =（6π，1） B 、a =（6π，1） C 、a =（6π，-1） D 、a =（65π，-1） 12．已知cos α=23cos 2α+cos 2β，则sin 2α+sin 2β的范围为 A 、[23，+∞） B 、[2，27] C 、[23、27] D 、[914，2]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13．若sin 2β=169，β为第二象限角，则tan2β=_________。

14．若OA =（1，0），OB =（1+3，1），OC =（1，2），则△ABC 的形状为______。

15．已知函数f(x)=x 2，那么21[f(a)+f(b)]与f(2+b a )的大小关系为_______________，化简后为_____________。

16．如图（一）边长为3的正方形中，有16个交点，从中任取2个组成向量，则与AC 平行且长度为22的向量个数f(3)=8. ︵︵︵ ︵︵如图（二）边长为4的正方形中，有25个交点，从中任取2个组成的向量与向量AC 平行且长度为32的向量个数f(4)=____________。

三、解答题（本大题共6小题，17题至21题每题12分，22题14分，共74分） 注意事项：要求写出必要的推理、证明、演算的过程。

17．（本题12分）已知在△ABC 中，tanA=-41（1）求∠A （可用反三角表示）； （2）求AA A 2cos cos sin 21的值。

18．（本题12分）如图：在直角坐标系中OA =a, OB =b ，M 为平面内的一点，M 关于A 的对称点S ，S 关于B 的对称点为N 。

（1）试用a,b 表示向量MN ；（2）若A 、B 是动点，且OA =(cos α,sin α)， OB =(2cos β,2sin β)，求|MN |的取值范围。

19．（本题12分）若a 、b 、c ∈R ，且a=x 2－2y+2π,b=y 2+3π,c=z 2－2x+6π,求证：a 、b 、c 中至少有一个大于零。

20．（本题12分）已知|OA |=|OB |=1，OA ，OB 的夹角为120°。

（1）若四边形OACB 为平行四边表，试用OA 、OB 表示OC ，并求|OC |； （2）若|OC |=5，OC 与OA 的夹角为30°，试用OA ，OB 表示OC 。

21．（本题12分）已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx,(A,B, ω∈R 且ω>0)，若f(x)的最小正周期为1，且当x=121时f(x)取得最大值2。

（1）求f(x)的解析式；（2）在[0，1）内求f(x)的单调区间，并说明单调性； （3）在区间[613，3]上是否存在对称轴，若存在请求出对称轴方程，若不存在，请说明理由。

22．（本题满分14分）如图：扇形的半径为1，中心角为3，请设计一种方案，使得扇形内接矩形的面积最大，求最大值，并说明理由。

（内接矩形是指矩形的四个顶点都在扇形的弧上和半径上）高一数学下学期期末考试8答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1、C2、D3、A4、B5、C6、B7、C8、A9、D 10、C 11、D 12、D二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13、37 14、等边三角形（正三角形） 15、21[f(a)+f(b)]≥f(2+b a )a 2+b 2≥2ab 当且仅当a=b 时取等号 16、f(4)=8三、解答题（本大题共6小题，17至21题每题12分，22题14分，共74分） 17、解：（1）∵tanA=-41∴∠A 为钝角 ………………………………2分 即A=π－arctan41……………………………………5分 (2)2417=2111+161=1tan 21+tan =cos cos sin 2cos +sin =cos cos sin 2122222A A A A A A A A A A …12分 18、解：（1）（法一）连接AB ，得向量AB =b －a由三解形的中位线及平行向量得MN =2(b －a) （法二，可用坐标法） ……3分 （2）（法一）|MN |=2|b －a|,||a|－|b||≤|b －a|≤|a|+|b| 即|MN |∈[2，6]（法二）|MN |=2)cos(45=)sin 2(sin +)cos 2(cos 22βαβαβα∵|cos(α－β)|≤1 ∴2≤|MN |≤619、证明：设a ≤0, b ≤0, c ≤0 ………………3分 则有a+b+c ≤0 而a+b+c=(x 2－2y+2π)+(y 2－2z+3π)+(z 2－2x+6π) =(x －1)2+(y －1)2+(z －1)2+(π－3) ……………………8分∵(x －1)2≥0 (y －1)2≥0 (z －1)2≥0 π－3>0 ……………………10分 ∴a+b+c>0与a+b+c ≤0矛盾∴原命题正确 ……………………12分 20、解：（1）如图∵AC =OB ，由向量的加法法则得OA +AC =OC ……………………3分∴OC =OA +OB ，|OC |=°60cos |||2)(+)(22OB OA OB OA =1 …………5分（2）如图，设OC =m OA +n OB ，(m, n ∈R)∴OA ≠0, OB ≠0 ………………7分∴OC ·OA =m OA ·OA + n OB ·OB 即5×1×23=m －21n 5×1×0=2m+n⇒m=3310 n=335 ∴OC =3310OA +335OB …………………12分 21、解：（1）f(x)=22+B A Sin(ωx+θ) Cos θ=22+BA A Sin θ=22+BA B[θ∈[0,) 则ω=2π，22+B A =2，Sin （122π+θ）=1，θ=3π………………4分 ∴f(x)=2Sin(2πx+3π) （2）当2k π－2π≤2πx+3π≤2π+2π，即k －125≤x ≤k+121 k ∈z 时增 …………5分 当2k π+2π≤2πx+3π≤2π+23π，即k+121≤x ≤k+127k ∈z 时减 …………6分∵x ∈[0,1) ∴在[0，121]上增，[121，127]上减，[127，1）上增 …………8分（3）令2πx+= k π+2π, x=2k +121………………9分即1226≤121+6k ≤1236 k=5 ………………11分存在对称轴x=1231………………12分22、解：如图（一）取AB 上一点P ，连OP ，作矩形PQRS 设∠POA=θ(0<θ<6π) ………………1分 在△POS 中，∠OSP=65πPS=2Sin θ …………………2分 ︵OS=2Sin(6π－θ) 在△OSR 中RS=OS ………………3分S 1=PS ·RS=4Sin θ·Sin(6π－θ) ………………4分=2[Cos(2θ－6π)－Cos 6π]≤2－3 当θ=12π时取等号 ………………6分（合计6分）如图（二）取AB 上一点P ，作矩形PQRS 设∠POA=θ，（0<θ<3π） ……………………1分 在△PSO 中，PS=Sin θ在△PQO 中，∠POQ=3π－θ ∠PQO=32πPQ=332=32)3(πSin θπSin Sin(3π－θ) S 2=PQ·PS=332Sin θ·Sin(3π－θ) =33[(Cos(2θ－3π)－Cos 3π] ≤33(1－21)=63 当θ=6π时取等号 …………………………6分（合计6分）︵S 1－S 2=6147144=63712<0 即S 1<S 2∴如图二的矩形面积最大为63…………………………14分。