2020-2021学年广东省广州二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥04．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知sin（α﹣π）＝﹣，α∈（，），则cosα＝（）A．B．C．D．6．已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于（）A．10B．9C．8D．77．函数y＝tan x+sin x﹣|tan x﹣sin x|在区间内的图象是（）A．B．C．D．8．已知，，则cos2α＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法中错误的是（）A．幂函数的图象不经过第四象限B．y＝x0的图象是一条直线C．若函数的定义域为{x|x＞2}，则它的值域为D．若函数y＝x2的值域为是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}10．满足不等式sin x≥cos x，x∈[0，2π]的x的值可以是（）A．B．C．D．11．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝012．已知函数，为函数f（x）零点，直线为函数f（x）的对称轴，且f（x）在上单调，则ω不可能等于（）A．11B．9C．8D．6三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝为R上的奇函数，则n的值为．14．已知x＜3，则的最大值为．15．函数y＝﹣sin2x﹣4cos x+6的值域是．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．四、解答题（70分）17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a＝（T0﹣T a）•，其中T a表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？18．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞﹣x+m恒成立，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）＝log a（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并求函数的单调区间．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数，求函数g（x）的单调增区间．21．已知函数f（x）＝cos2x+sin x•cos x，其中x∈R．（1）求使f（x）≥的x的取值范围；（2）若函数g（x）＝，且对任意的0≤x1＜x2≤t，恒有f（x1）﹣f （x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，求实数t的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵A＝{1，4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4∵A∪B＝{1，4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2满足条件的实数x有0，2，﹣2共3个故选：C．2．已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2；∴q⇒p；但p推不出q，∴p是q的必要非充分条件，故选：B．3．命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x≥0，x3+x＜0，故选：C．4．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c解：∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2，c＝log45＞log44＝1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选：D．5．已知sin（α﹣π）＝﹣，α∈（，），则cosα＝（）A．B．C．D．解：因为sin（α﹣π）＝﹣sinα＝﹣，可得sinα＝，又因为α∈（，），所以cosα＝﹣＝﹣．故选：A．6．已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于（）A．10B．9C．8D．7解：∵a＞0，b＞0，∴+≥⇔m≤+＝5++，由a＞0，b＞0得，+≥2＝4（当且仅当a＝b时取“＝”）．∴5++≥9．∴m≤9．故选：B．7．函数y＝tan x+sin x﹣|tan x﹣sin x|在区间内的图象是（）A．B．C．D．解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选：D．8．已知，，则cos2α＝（）A．B．C．D．解：因为，所以﹣＜β﹣α＜0，π＜α+β＜，又，所以sin（β﹣α）＝﹣＝﹣，cos（β+α）＝﹣＝﹣；所以cos2α＝cos[（β+α）﹣（β﹣α）]＝cos（β+α）cos（β﹣α）+sin（β+α）sin（β﹣α）＝×（﹣）+（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法中错误的是（）A．幂函数的图象不经过第四象限B．y＝x0的图象是一条直线C．若函数的定义域为{x|x＞2}，则它的值域为D．若函数y＝x2的值域为是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；对于B，因为当x＝0时，x0无意，即在x＝0无定义，所以B错；对于C，函数的定义域为{x|x＞2}，则它的值域为{y|0＜y＜}，不是，所以C错；对于D，定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2}，如{x|0≤x≤2}，所以D错．故选：BCD．10．满足不等式sin x≥cos x，x∈[0，2π]的x的值可以是（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知，当sin x≥cos x，x∈[0，2π]时，≤x≤，故B，C，D都可以，故选：BCD．11．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0解：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是f（x）＝0的根．根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．所以，若f（a）•f（b）＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，不正确，可能有零点．如图，有两个零点，所以A不正确．若f（a）•f（b）＜0，则只存在一个实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，可能由多个零点．如图，所以B不正确；若f（a）•f（b）＞0，则有可能存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，如图：，有两个零点，所以C正确；若f（a）•f（b）＜0，一定存在实数c∈[a，b]，使得f（c）＝0，如图：所以D错误；故选：ABD．12．已知函数，为函数f（x）零点，直线为函数f（x）的对称轴，且f（x）在上单调，则ω不可能等于（）A．11B．9C．8D．6解：∵函数，为函数f（x）零点，直线为函数f（x）的对称轴，且f（x）在上单调，∴ω×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z①，ω×+φ＝nπ+，n∈Z②，×≥﹣③．由①②可得ω＝2（n﹣k）+1，故ω为正奇数．由③可得，ω≤12，当ω＝11时，﹣+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ＝﹣，此时f（x）在上不单调，不满足题意；当ω＝9时，﹣+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ＝，此时f（x）在上单调，满足题意；故ω的最大值为9，则ω不可能等于11，6，8，故选：ACD．三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝为R上的奇函数，则n的值为2．解：∵函数f（x）＝为R上的奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，解得n＝2，故答案为：2．14．已知x＜3，则的最大值为﹣1．解：∵x＜3，∴x﹣3＜0，∴+x＝+（x﹣3）+3≤﹣2+3＝﹣1，当且仅当＝x﹣3即x＝1时取等号，故f（x）的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．15．函数y＝﹣sin2x﹣4cos x+6的值域是[2，10]．解：函数y＝﹣sin2x﹣4cos x+6＝﹣（1﹣cos2x）﹣4cos x+6＝cos2x﹣4cos x+5＝（cos x﹣2）2+1，再根据cos x∈[﹣1，1]，可得当cos x＝1时，函数取得最小值为2，当cos x＝﹣1时，函数取得最大值为10，故函数的值域为[2，10]，故答案为：[2，10]．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．解：当λ＝2时函数f（x）＝，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）＝的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．四、解答题（70分）17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a＝（T0﹣T a）•，其中T a表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？解：由题意，40﹣24＝（88﹣24）•⇒h＝10则T﹣T a＝（T0﹣T a）•，将T0＝40，T a＝24，T＝35，代入T﹣T a＝（T0﹣Ta）•35﹣24＝（40﹣24）⇒t＝25，答：约需要25 min，可降温到35℃．18．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞﹣x+m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f（x）＝a（x2﹣4x）+b＝a（x﹣2）2+b﹣4a∵a＞0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2，∴f（x）在[0，1]递减；∴f（0）＝b＝1，且f（1）＝b﹣3a＝﹣2，∴a＝b＝1；（2）f（x）＞﹣x+m等价于x2﹣4x+1＞﹣x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0，要使此不等式在[﹣1，1]上恒成立，只需使函数g（x）＝x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，1]上的最小值大于0即可．∵g（x）＝x2﹣3x+1﹣m在[﹣1，1]上单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝﹣m﹣1，由﹣m﹣1＞0得，m＜﹣1．因此满足条件的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．已知函数f（x）＝log a（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并求函数的单调区间．解：（1）∵f（x）＝log a（a＞0且a≠1），∴＞0，解得x＞1，或x＜﹣1，故函数f（x）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（2）∵f（﹣x）＝log a＝﹣log a＝﹣f（x），∴函数为奇函数，设＝u，则u＝1+，因为函数u在每一个区间上均为减函数，当a＞1是，函数y＝log a x为增函数，故函数f（x）为减函数，当0＜a＜1是，函数y＝log a x为减函数，故函数f（x）为增函数．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数，求函数g（x）的单调增区间．解：（1）函数＝2cos2（﹣x）﹣1＝cos2（﹣x）＝sin2x，所以函数f（x）的最小正周期为＝π．（2）＝sin2x﹣（2cos2x﹣1）﹣＝sin2x﹣cos2x﹣＝2sin（2x﹣）﹣，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数g（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）＝cos2x+sin x•cos x，其中x∈R．（1）求使f（x）≥的x的取值范围；（2）若函数g（x）＝，且对任意的0≤x1＜x2≤t，恒有f（x1）﹣f （x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，求实数t的最大值．解：（1）f（x）＝cos2x+sin x•cos x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），f（x）≥，即sin（2x+）≥，所以2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，即使f（x）≥的x的取值范围是[kπ，kπ+]，k∈Z．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+）＝sin（2x+）﹣cos（2x+）＝sin2x，因为对任意的0≤x1＜x2≤t，恒有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，所以当x∈[0，t]时，F（x）＝sin2x为增函数，所以2t≤，解得t≤，所以实数t的最大值为．。