QPCBA2012——2013学年上学期期末联考高一年级期末考试数 学 试 卷一、选择题.(本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)1、已知集合2{|23,},{|3,},A x x x Z B y y x x A C A B =-≤≤∈==-∈=⋂, 则集合C 的子集共有( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个2、已知角α的终边在函数23y x =-的图象上, 则212sin cos 3cos ααα--的值为( )A ．213-B ．213±C ．－2D ．2±3、设1sin()43πθ+=, 则sin2θ＝( ) A ．79- B ．19-C ．19 D ．79 4、已知平面内不共线的四点O, A, B, C 满足1233OB OA OC =+, 则||:||AB BC =( )A ．1：3B ．3：1C ．1：2D ．2：15、为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象, 只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点( )A ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)6、已知||23,||2a b ==, 向量,a b 的夹角为30°, 则以向量,a b 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( ) A ．10BC ．2D ．227、设P, Q 为△ABC 内的两点, 且2121,5534AP AB AC AQ AB AC =+=+, 则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15 B ．45 C ．14D ．138、设1235,log 2,ln 2a b c -===, 则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<9、已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4, 最小值为0, 最小正周期为2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是( ) A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10、函数1()2sin (13)1f x x x xπ=--≤≤-的所有零点之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、填空题.(本大题共5小题, 每小题5分, 共25分) 11、sin15cos15︒⋅︒= .12、设函数1221,0(),0x x f x x x --≤⎧⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 的取值范围是 .13、已知223sin 2sin 2sin x y x +=, 则22sin sin x y +的取值范围是 . 14、函数()f x 的定义域为[0,1], 且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32xf f x =；③(1)1()f x f x -=-, 则11()()69f f += .15、下列命题中：①//a b ⇔存在唯一的实数R λ∈, 使得b a λ=； ②e 为单位向量, 且//a e , 则||a a e =±；③3||||a a a a ⋅⋅=；④a b 与共线, b c 与共线, 则a c 与共线； ⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠, 则a c =.其中正确命题的序号是 .三、解答题.(本大题共6小题, 共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、(本小题满分12分)已知3sin ,(0,)52παα=∈.(1)求cos α的值；(2)求sin2cos2αα+的值.E RDCBA17、(本小题满分12分)已知(1,2),(1,1)a b ==-.(1)若θ为2a b +与a b -的夹角, 求θ的值； (2)若2a b +与ka b -垂直, 求k 的值.18、(本小题满分12分)在△ABC 中, 点D 和E 分别在BC 上, 且11,33BD BC CE CA ==, AD 与BE 交于R, 证明：1.7RD AD =19、(本小题满分12分)已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),||5a b a b ααββ==-=. (1)求cos()αβ-的值； (2)若50,0,sin 213πβαβπβ-<<<-<=-, 求sin α的值.20、(本小题满分13分)已知函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数,且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. (1)当5[,]66x ππ∈时, 求()f x 的取值范围；(2)将函数()y f x =的图象按向量(,0)6a π=平移后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍, 纵坐标不变, 得到函数()y g x =的图象, 求()g x 的单调递减区间.21、(本小题满分14分)已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1)求()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 为R 上的减函数；(3)若对任意的[1,1]t ∈-, 不等式(24)(321)0t t f k f k -+⋅--<恒成立, 求k 的取值范围.2012——2013学年上学期期末联考 高一年级期末考试数学试卷（参考答案）一、选择题.(本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一二、填空题.(本大题共5小题, 每小题5分, 共25分) 11、1412、01x <-或01x >13、4[0,]914、1215、②③三、解答题.(本大题共6小题, 共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、（1）∵3sin ,(0,)52παα=∈。
∴4cos 5α=== ………………（6分） （2）sin2cos2αα+22sin cos 2cos 1ααα=+-34162215525=⨯⨯+⨯-3125=………………（12分）17、（1）∵(1,2),(1,1)a b ==-∴2(3,3),(0,3)a b a b +=-=∴(2)()9cos 2|2|||318a b a b a b a b θ+⋅-===+⋅-。
∵0[0,]π∈ ∴4πθ=………………（6分）（2）(1,21)ka b k k -=-+，依题意(3,3)(1,21)0k k ⋅-+= ∴33630k k -++=∴0k = ………………（12分）18、证明：由A 、D 、R 三点共线，可得(1)CR CD CA λλ=+-2(1)3CB CA λλ=+-。
由B 、E 、R 三点共线，可得(1)CR CB CE μμ=+-仙桃中学 麻城一中 新洲一中 武汉二中1(1)3CB CA μμ=+-。
∴2311(1)3λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴6747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………（6分） ∴4177CR CB CA =+∴23AD CD CA CB CA =-=-241()377RD CD CR CB CB CA =-=-+21217CB CA =-121()737CB CA AD =-= ………………（12分）19、解：（1）∵(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==∴(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--∵25||5a b-=即422cos()5αβ--= ∴3cos()5αβ-= ………………（6分）（2）∵30,cos()5αβπαβ<-<-= ∴4sin()5αβ-=又∵50,sin 213πββ-<<=- ∴12cos 13β=∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-41235()513513=⨯+⨯- 3365= ………………………………………………（12分）20、解：（1）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+2sin()6x πωϕ=+-∵()f x 为偶函数，∴对,()()x R f x f x ∈-=恒成立∴sin()sin()66x x ππωϕωϕ-+-=+-即sin cos()cos sin()66x x ππωϕωϕ--+-sin cos()cos sin()66x x ππωϕωϕ=-+-∴sin cos()06x πωϕ-=∵0x R ω>∈且 ∴cos()06πϕ-=，又∵0ϕπ<<∴62ππϕ-=∴()2sin()2cos 2f x x x πωϕω=++=依题意222ππω=⋅ ∴2ω= ∴()2cos2f x x = ………………（4分）∵5[,]66x ππ∈ ∴52[,]33x ππ∈ ∴1cos2[1,]2x ∈- ∴()[2,1]f x ∈- …………（7分）（2）依题意()()2cos[2()]2cos()464623x x x g x f πππ=-=-=-由22()23x k k k Z ππππ≤-≤+∈得2844()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈∴()g x 的单调减区间为28[4,4]()33k k k Z ππππ++∈ ………………（13分）21、解：（1）由(0)0f =得1b =，由(1)(1)f f -=-得2a =。
∴121()22x x f x +-+=+ ………………（4分）（2）设12x x <，则121212112121()()2222x x x x f x f x ++-+-+==-++ ＝121111()()212212x x ---++＝211212112202121(21)(21)x xxx x x --=>++++ ∴12()()f x f x > ∴()f x 为R 上的减函数 ………………（8分） （3）(24)(321)0t t f k f k -+⋅--< (24)(132)t t f k f k ⇔-<+-⋅ ∵()f x 为R 上的减函数 ∴24132t t k k ->+-⋅∴2354321(2)24t t t k >-⋅+=-- ……………………（12分） ∵[1,1]t ∈- ∴12[,2]2t ∈∴2354321(2)24t t t -⋅+=--的最大值为14- ∴14k >- ……………………（14分）。