成都市高2020届高三一诊模拟试题(2)数学(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分. 1.若复数z =a1+i +1为纯虚数,则实数a =( ) A .﹣2B .﹣1C .1D .22.已知全集U =R ,A ={x |x 2﹣3x ﹣4>0},B ={x |﹣2≤x ≤2},则如图所示的阴影部分所表示的集合为( ) A .{x |﹣2≤x <4}B .{x |x ≤2或x ≥4}C .{x |﹣2≤x ≤﹣1}D .{x |﹣1≤x ≤2}3.根据下面的算法语句,当输入x 为60时,输出y 的值为( ) A .25B .30C .31D .614.已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,且|AB |=√3,则OA →在OB →上的投影为( ) A .−12B .12C .−43D .05.已知a ,b ,c ,d 为实数,则“a >b 且c >d ”是“ac +bd >bc +ad ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知m 和n 是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A .α⊥β 且m ⊥α B .α⊥β且m ∥αC .m ∥n 且n ⊥βD .m ⊥n 且n ∥β7.函数f (x )=x 2+cosxx的图象大致为( )8.已知等比数列{a n }中,a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是( )A .(﹣∞,﹣1]B .(﹣∞,0)∪(1,+∞)C .[3,+∞)D .(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)9.如图,在正方体ABC 的﹣A 1B 1C 1D 1中,点P 是线段A 1C 1上的动点,则三棱锥P ﹣BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A .1B .√2C .√3D .210.将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个,其中标号为1,2的小球放入同一盒子中,则不同的方法共有( ) A .12种B .16种C .18种D .36种11.若函数f (x )=cos2x ﹣a sin2x 的图象关于直线x =π8轴对称,则函数y =√2cos (x −π8)+f (x )的最小值为( ) A .﹣2√2B .−3√62C .0D .−9√2812.已知f (x )={xe x−1,x >0|1x+2|,x <0,若函数y =f (x )﹣m (2x ﹣1)有两个零点,则实数m 的取值范围是( )A .(﹣∞,8√2−12)∪(2,+∞)B .(4√2−6,1)C .(﹣∞,4√2−6)∪(1,+∞)D .(﹣∞,2√2−2)∪(1,+∞)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln (1+1n ),则a 5等于 . 14.如果(√x −1x 2)n的展开式中含有常数项,则正整数n 的最小值是 . 15.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,P (1,y 0)是抛物线上一点,过点P 向抛物线C 的准线引垂线,垂足为D ,若△PDF 为等边三角形,则p = .16.在平面四边形ABCD 中,△ABC 是边长为2的等边三角形,△ADC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,以AC 为折痕把△ADC 折起,当DA ⊥AB 时,四面体D ﹣ABC 的外接球的体积为 . 三、解答题:共70分.17.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m →=(cos B ,2cos 2C2−1),n →=(c ,b ﹣2a ),且m →•n →=0.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅰ)若点D 为边AB 上一点,且满足AD →=DB →,|CD →|=√7,c =2√3,求△ABC 的面积.18.(12分)如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,ABCD 为矩形,△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形,平面P AB ⊥平面ABCD .(Ⅰ)证明:平面P AD ⊥平面PBC ;(Ⅰ)M 为直线PC 的中点,且AP =AD =2,求二面角A ﹣MD ﹣B 的正弦值.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√62,1)离心率为√33.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅰ)过点M (2,0)的直线l 交椭圆于A ,B 两点,F 为椭圆C 的左焦点,若FA →•FB →=−1,求直线l 的方程.20.(12分)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下: x /万步 0≤x ≤0.4 0.4<x ≤0.8 0.8<x ≤1.2 1.2<x ≤1.6 1.6<x ≤2.0 2.0<x ≤2.4 2.4<x ≤2.8 y /人5205018331(Ⅰ)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;(Ⅰ)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;(Ⅰ)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X 人,超过1.2万步的有Y 人,设ξ=|X ﹣Y |,求的分布列及数学期望.21.(12分)函数f (x )=e x ﹣1﹣1n (x ﹣a ).(Ⅰ)若函数f (x )在点(2,f (2))处的切线过点(1,0),求a 的值;(Ⅰ)若不等式f (x )>0在定义域上恒成立,求a 的取值范围(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ,(θ为参数),过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=|x +2|+|x +a |.(Ⅰ)若函数f (x )的最小值为2,求a 的值.(Ⅰ)若x ∈(4,+∞)时,不等式f (x )<2x 成立,求a 的取值范围.一、1.A 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C 8.D 9.D 10.C 11.D 12.C 二、13.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln (1+1n ),所以a 2=a 1+ln (1+1)=2+ln 2, a 3=a 2+ln (1+12)=2+ln 2+ln 3﹣ln 2=2+ln 3, a 4=a 3+ln (1+13)=2+ln 3+ln 4﹣ln 3=2+ln 4, a 5=a 4+ln (1+14)=2+ln 4+ln 5﹣ln 3=2+ln 5, 14.T r +1=∁nr (√x)n−r(−1x 2)r =(﹣1)r ∁n rx n−5r 2令n−5r 2=0,可得n =5r .∵(√x −1x 2)n的展开式中含有常数项,∴正整数n 的最小值是5. 15.抛物线C :y 2=2px (p >0),焦点为F (p 2,0),准线为l :x =−p 2, P (1,y 0)是抛物线上一点,则y 02=2p ,由题意可得D (−p2,√2p ),由于△PFD 为等边三角形,则有|PF |=|PD |=|FD |,即有:1+p 2=2p ,可得p =23.16.在四面体中,由已知条件可知,AD =CD ,AB =BC ,BD =BD ,则△BAD ≌△BCD ,所以,∠BCD =∠BAD =90°,所以,△BAD 和△BCD 是公共斜边的直角三角形,则BD 是四面体D ﹣ABC 外接球的一条直径, 易知,AD =AC cos45°=√2,且BD =√AB 2+AD 2=√6, 设四面体D ﹣ABC 的外接球的半径为R ,则R =BD 2=√62, 因此,四面体D ﹣ABC 的外接球的体积为43π×(√62)3=√6π.17.(Ⅰ)∵向量m →=(cos B ,2cos 2C2−1),n →=(c ,b ﹣2a ),且m →•n →=0,∴c •cos B +(b ﹣2a )cos C =0,由正弦定理可得,sin C cos B +(sin B ﹣2sin A )cos C =0,∴sin A ﹣2sin A cos C =0, ∵sin A ≠0,∴cos C =12,∵C ∈(0,π),∴C =π3,(Ⅰ)AD →=DB →,|CD →|=√7,c =2√3,∴CD →−CA →=CB →−CD →,∴2CD →=CA →+CB →, 两边平方得4|CD →|2=b 2+a 2+2ac cos C =b 2+a 2+ac =28,(1), ∵c 2=b 2+a 2﹣2ac cos C =b 2+a 2﹣ac =12,(2), 由(1),(2)可得ab =8,∴S △ABC =12ab sin C =2√3.18.(Ⅰ)证明:∵ABCD 为矩形,∴AD ⊥AB ∵平面P AB ⊥平面ABCD ,平面P AB ∩平面ABCD =AB , ∴AD ⊥平面P AB ,则AD ⊥PB 又P A ⊥PB ,P A ∩AD =A ,∴PB ⊥平面P AD ,而PB ⊂平面PBC ,∴平面P AD ⊥平面PBC ;(Ⅰ)取AB 中点O ,分别以OP ,OB 所在直线为x ,y 轴建立空间直角坐标系, 由AP =AD =2,△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形, 得:A (0,−√2,0),D (0,−√2,2),B (0,√2,0),M (√22,√22,1), MA →=(−√22,−3√22,−1),MD →=(−√22,−3√22,1),MB →=(−√22,√22,−1).设平面MAD 的一个法向量为m →=(x ,y ,z),由{m →⋅MA →=−√22x −3√22y −z =0m →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0,取y =1,得m →=(−3,1,0); 设平面MBD 的一个法向量为n →=(x ,y ,z),由{n →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0n →⋅MB →=−√22x +√22y −z =0,取z =1,得n →=(−1,1,√2). ∴cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√10×2=√105.∴二面角A ﹣MD ﹣B 的正弦值为√155.19.(Ⅰ)设椭圆C 的焦距为2c (c >0),则ca =√33,∴a =√3c ,b =√a 2−c 2=√2c , 所以,椭圆C 的方程为x 23c 2+y 22c 2=1,将点(√62,1)的坐标代入椭圆C 的方程得(√62)23c 2+12c 2=1,解得c =1,则b =√2c =√2,a =√3c =√3,因此,椭圆C 的方程为x 23+y 22=1;(Ⅰ)设直线l 的方程为x =my +2,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2), 将直线l 的方程代入椭圆的方程,并化简得(2m 2+3)y 2+8my +2=0, △=64m 2﹣4×2×(2m 2+3)=24(2m 2﹣1)>0,解得m <−√22或m >√22.由韦达定理可得y 1+y 2=−8m 2m 2+3,y 1y 2=22m 2+3, FA →=(x 1+1,y 1)=(my 1+3,y 1),同理可得FB →=(my 2+3,y 2),所以,FA →⋅FB →=(my 1+3)(my 2+3)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+3m (y 1+y 2)+9=2(m 2+1)2m 2+3−24m 22m 2+3+9=−1,解得m =±4,合乎题意 因此,直线l 的方程为x ﹣4y ﹣2=0或x +4y ﹣2=0. 20.(Ⅰ)根据题意,补充下表,x /万步 0≤x ≤0.4 0.4<x ≤0.8 0.8<x ≤1.2 1.2<x ≤1.6 1.6<x ≤2.0 2.0<x ≤2.4 2.4<x ≤2.8 Y /人 5 20 50 18 3 3 1 频率 0.05 0.20 0.50 0.18 0.03 0.03 0.01 频率组距0.1250.51.250.450.0750.0750.025根据表中数据,作出频率分布直方图如下:(Ⅰ)这100人中只有25人步数多于1.2万步,在这100人中随机抽取3人,至少2人步数多于1.2万步的概率为P =C 252⋅C 751+C 253C 1003=2481617.(Ⅰ)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14,超过1.2万步的概率为14,且当X =Y =0或X =Y =1时,ξ=0,P (ξ=0)=12×12+C 21×14×14=38,当X =1,Y =0或X =0,Y =1时,ξ=1,P (ξ=1)=C 21×14×12+C 21×14×12=12,当X =2,Y =0或X =0,Y =2时,ξ=2,P (ξ=2)=14×14+14×14=18, ∴ξ的分布列为:ξ 012P381218E ξ═0×38+1×12+2×18=34. 21.(Ⅰ)∵f ′(x )=e x −1x−a ,∴k =f ′(2)=e 2−12−a ,f (2)=e 2﹣1﹣ln (2﹣a ), ∴e 2−12−a =e 2−1−ln(2−a)−02−1, 整理可得12−a=lne (2﹣a ),解得a =1, (Ⅰ)由题意知,x >a ,f ′(x )=e x −1x−a ,设h (x )=e x −1x−a ,h ′(x )=e x +1(x−a)2>0,故f ′(x )在(0,+∞)递增,故x →a 时,f ′(x )→﹣∞,当x →+∞时,f ′(x )→+∞, 故f ′(x )=0在(a ,+∞)上有唯一实数根x 0,当x ∈(a ,x 0)时,f ′(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0,故x =x 0时,f (x )取最小值,由f ′(x 0)=e x 0−1x 0−a =0,得e x 0=1x 0−a ,故x 0=﹣ln (x 0﹣a ),f (x )≥f (x 0)=e x 0−1﹣ln (x 0﹣a )=1x 0−a +x 0﹣a +a ﹣1≥2+a ﹣1>0,解得:a >﹣1,故a 的范围是(﹣1,+∞).22.(1)∵⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ(θ为参数),∴⊙O 的普通方程为x 2+y 2=1,圆心为O (0,0),半径r =1,当α=π2时,过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 的方程为x =0,成立; 当α≠π2时,过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 的方程为y =tanα•x −√2, ∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点, ∴圆心O (0,0)到直线l 的距离d =|√2|√1+tan 2α<1,∴tan 2α>1,∴tanα>1或tanα<﹣1,∴π4<α<π2或π2<α<3π4,综上α的取值范围是(π4,3π4).(2)l 的参数方程为{x =tcosαy =−√2+tsinα,(t 为参数,π4<α<3π4),设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B2, 且t A ,t B 满足t 2−2√2tsinα+1=0,∴t A +t B =2√2sinα,t P =√2sinα, ∵P (x ,y )满足{x =t P cosαy =−√2+t p sinα,∴AB中点P的轨迹的参数方程为:{x=√22sin2αy=−√22−√22cos2α,(α为参数,π4<α<3π4).23.(Ⅰ)函数f(x)=|x+2|+|x+a|≥|(x+2)﹣(x+a)|=|2﹣a|,当且仅当(x+2)(x+a)≤0“=”成立;若函数f(x)的最小值为2,则|2﹣a|=2,解得a=0或a=4;(Ⅰ)若x∈(4,+∞)时,不等式f(x)<2x成立,化为x+2+|x+a|<2x成立,即|x+a|<x﹣2成立;所以2﹣x<x+a<x﹣2,即2﹣2x<a<﹣2;由y=2﹣2x在x>4时单调递减,可得2﹣2x<﹣6,即a≥﹣6且a<﹣2,所以a的取值范围是[﹣6,﹣2).。