45分钟滚动基础训练卷(八)
[考查范围：第27讲～第29讲 分值：100分]
一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于________．
2．由a 1＝1，a n ＋1＝a n
3a n ＋1
给出的数列{a n }的第34项为________．
3．等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3
，a 2＋a 5＝4，若a n ＝33，则n ＝________.
4．[2012·东莞联考] 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．
5．等差数列{a n }中，a 1＝70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项是第________项．
6．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N ＋)．我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“劣数”，则在区间(1,2 007)内的所有劣数的和为________．
7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 6＝36，S n ＝324，S n －6＝144(n >6)，则n 等于________．
8．[2012·苏州模拟] 已知集合A n ＝{x |2n <x <2n ＋
1，且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N ＋}，则A 6中各元素的和为________．
二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
9．四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．
10．已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)．
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列，并求公差；
(2)求数列{a n }的通项公式．
11．等比数列{a n }的公比q >1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n >1a 1＋
1
a 2
＋…＋1
a n
成立的正整数n 的取值范围．
12．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)若首项a 1＝3
2
，公差d ＝1，求满足S k 2＝(S k )2的正整数k ；
(2)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有S k 2＝(S k )2成立．
45分钟滚动基础训练卷(八)
1．2n ＋1 [解析] 所给数比2,4,8,16,32大1. 2.1100 [解析] ∵1a n ＋1－1a n
＝3，∴1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，∴1a 34＝100，即a 34＝1100. 3．50 [解析] a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝4，
又a 1＝13，∴d ＝23，a n ＝13＋(n －1)·23＝23n －1
3
.
a n ＝33，∴23n －1
3
＝33，得n ＝50.
4．2n [解析] 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －
1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，由(a n ＋1＋1)2
＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .
5．9 [解析] a n ＝70＋(n －1)×(－9)＝－9n ＋79， ∴|a 9|＝2，|a 8|＝7，即绝对值最小的项是第9项． 6．2 026 [解析] ∵a 1a 2…a n ＝log 23·log 34·…·log n ＋1(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，∴n ＋2＝2k .由n ＝2k －2∈(1,2 007)有2≤k ≤10(k ∈Z )，
故所有劣数的和为(22＋23＋……＋210)－2×9＝4(1－29)1－2
－18＝2 026. 7．18 [解析] 由S n ＝324，S n －6＝144得a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＋a n －5＝180，
再由S 6＝36，∴a 1＋a n ＝36，∴S n ＝n (a 1＋a n )
2
＝324，∴n ＝18.
8．891 [解析] 令n ＝6得26<x <27，∴64<x <128.由64<7m ＋1<128，m ∈N ＋有10≤m ≤18.
故各元素之和为S ＝9×71＋9×8
2
×7＝891.
9．[解答] 因前三个数成等差数列，且其和为48，可令前三个数分别为16－d,16,16＋d ，又∵后三个数成等比数列，∴(16＋d )2＝25×16，∴d ＝4，d ＝－36(舍)，即四个数为12,16,20,25.
10．[解答] (1)由2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)得2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1⇒1S n －1S n －1＝－1
2
，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－12.
(2)1S n ＝13＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－12⇒S n ＝65－3n
， 当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18
(3n －5)(3n －8)
.
11．[解答] 由题意得：()a 1q 162＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1.
又∵数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1a 1为首项，以1
q 为公比的等比数列，要使不等式成立，
则需a 1(q n
－1)q －1
>1a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1q n 1－1q
，把a 21＝q －18代入上式并整理，得：q －
18(q n －1)>q ⎝⎛⎭⎫1－1q n ， ∴q n >q 19，∵q >1，∴n >19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20.
12．[解答] (1)当a 1＝3
2，d ＝1时，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝32n ＋n (n －1)2＝12
n 2＋n ，
由S k 2＝(S k )2，得1
2
k 4＋k 2＝⎝⎛⎭⎫12k 2＋k 2， 即k 3⎝⎛⎭
⎫1
4k －1＝0， 又k ≠0，所以k ＝4.
(2)设数列{a n }的公差为d ，则在S k 2＝(S k )2中分别取k ＝1,2，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
S 1＝(S 1)2
，S 4＝(S 2)2，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝a 21，①4a 1＋4×32d ＝⎝⎛⎭⎫2a 1＋2×12d 2，② 由①得a 1＝0或a 1＝1.
当a 1＝0时，代入②得d ＝0或d ＝6，
若a 1＝0，d ＝0，则a n ＝0，S n ＝0，从而S k 2＝(S k )2成立；
若a 1＝0，d ＝6，则a n ＝6(n －1)，由S 3＝18，(S 3)2＝324，S 9＝216知 S 9≠(S 3)2，故所得数列不符合题意．
当a 1＝1时，代入②得4＋6d ＝(2＋d )2，解得d ＝0或d ＝2， 若a 1＝1，d ＝0，则a n ＝1，S n ＝n ，从而S k 2＝(S k )2成立；
若a 1＝1，d ＝2，则a n ＝2n －1，S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，从而S k 2＝(S k )2成立． 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n }：a n ＝0，即0,0,0，…； ②{a n }：a n ＝1，即1,1,1，…； ③{a n }：a n ＝2n －1，即1,3,5，…，。