一. 选择题:【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15所示。

则振动系统的频率为 ： (A)m k32π1． (B)m k2π1 ．(C)m k 32π1． (D)mk62π1．提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k .【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为13π，对应的时间为T/6.[ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A) π23． (B) π．(C) π21． (D) 0． 提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为初相位为π[ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为：(A) m k k v 212+=π． (B) mk k v 2121+=π． (C) 212121k mk k k v +=π． (D) )(212121k k m k k v +=π．提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹A/ -图13-15性系数满足：21111k k k +=，2121k k k k k +=，)(21212k k m k k +=ω，可计算得到v【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) 2.62 s ． (B) 2.40 s ． (C) 2.20 s ． (D)2.00 s ． 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为1s 2.4s【 D 】6、（自测提高6）弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为：（ ）A 2kA B 221kA C 241kA D 0提示：振动方程为)cos(0φω+=t A x ，经过半个周期，质点偏离平衡位置的位移为)cos(0πφω++=t A x ，这两个位置弹簧所具有的弹性势能221kx E p ＝相同，所以所做的功为零。

二 填空题7、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤T 41范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等． 提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为4π，因为初始相位为零，t=T/88、(自测提高9) 两个弹簧振子的振动周期都是0.4S ，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5S 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为：π．提示：第一个振子在开始运动时，其初始相位为2π，经过T S 4115.0=后，振动相位为π，此时第二个振动才从正方向的端点开始运动，即第二个振动的初始相位为0,所以两个振动的相位差为 π9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。

若测得在20S 内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300Hz ，则待测音叉的频率为：309Hz 或291Hz提示：20秒内测得拍的次数为180次，拍的频率为9；而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差，即9300121=-=-v v v10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长l = 1.5 m ，在顶端固定点的竖直下方0.45 m 处有一小钉，如图13-26所示．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A 1/A 2的近似值为___0.837___．提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：222211)(21)(21A m A m ωω= 对于单摆l g =ω，2211A l gA l g = 837.0:2121==l l A A11．(自测提高 13)一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm ，才能使钟走得准确？提示：钟摆周期的相对误差=∆T /T 钟的相对误差t /t ∆，等效单摆的周期g /l 2T π=，这里g 不变，则有 l dl T dT //2= 即有mm t t l T T l l 99.2606024130995.02/2/2=⨯⨯⨯⨯=∆=∆=∆12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x 方向和y 方向两振动的频率之比νx :νy =___4:3___．提示：在同样的时间间隔内，X 方向的振动为2T x ，而y 方向的振动为1.5T y ,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3三 计算题13、（基础训练18）如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的弹性系数为k=24N/m ，物体的质量为6kg ，物体静止在平衡位置。

设以大小为F=10N 的水平恒力向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m 时撤去力F ，当物体运动到左方最远位置时开始记时，求物体的运动方程。

解：由题意可以得到，当物体在恒力作用下左移0.05米时，满足：图13-27图13-260.45 mFS mv kx =+222121 外力撤去后，系统能量守恒，有222212121kA mv kx =+ 代入数据可以得到：m A 204.0=；2624===m k ω 取向右为正，当物体达到左方最远位置为起始时刻，初始相位为π 振动方程为)2cos(204.0π+=t x14. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位)如下：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ4110cos 06.04310cos 05.021t x t x ，(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。

(2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，问φ为何值时，31x x +的振幅为最大；φ为何值时，32x x +的振幅为最小。

解：（1）合成振动的振幅：078.006.005.022=+=A m初相位：11tan )41cos 06.043cos 05.041sin 06.043sin 05.0(tan 110--=++=ππππφ 因为旋转矢量位于第一象限，初始相位为84.80(2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，31x x +振幅最大，需要振动的初相位相同，所以πφ43=，32x x +的振幅最小，需要初相位相差1800，这时πφ45=15. （基础训练24） 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g 的物体，当物体处于平衡位置时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。

已知物体在32内完成48次振动，振幅为5cm 。

（1）上述的外加拉力有多大？（2）当物体在平衡位置以下1cm 时，此振动的动能和势能各是多少？解：(1)由题可知，3222===k m T πωπS m N k /88.8= N kA f 444.005.088.8=⨯== (因为从静止状态释放，此时偏离平衡位置位移最大，此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅A)(2) 当物体在平衡位置以下1cm 时，此振动的势能和动能分别是：J kx E P 4221044.4)01.0(88.82121-⨯=⨯⨯==J kx kA E K 222221007.1)01.0(88.821)05.0(88.8212121-⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=16(自测提高18) 在平板上放一质量为m=2kg 的物体, 平板在竖直方向上作简谐振动,其振动周期S T 21=, 振幅A=4cm, (1) 物体对平板的压力的表达式; (2) 平板以多大的振幅振动时,物体才能离开平板?解: 物体的振动方程可以表示为: )4cos(04.00φπ+=t x 取竖直方向为x 轴方向,且竖直向上为正方向. 考虑到起始时刻未定,引入初始相位0φ(1) 设平板对物体的弹力为N, 物体所受重力mg, 由牛顿第二定律得:22)(dtxd m mg N F =--=合mg t A m mg dtxd m N ++=+-=)4cos(0222φπω)4cos(28.16.1902φππ++=t N , 物体对平板的压力与弹力大小相等,方向相反 )4cos(28.16.19'02φππ+--=t N(2) mg t A m mg dtx d m N ++=+-=)4cos(0222φπω当则有要求最小时取,0,,1)4cos(0=-+N N t φπ0)(42=+-mg A m πm A 21021.6-⨯=17 (自测提高21) 质量为M 的圆盘挂在劲度系数为k 的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。

一质量为m 的物体，从距圆盘为h 的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。

设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。

取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。

试求系统的振动方程。

解：质量为m 的物体与质量为M 的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v ：图13-30v m M gh m )(2+= )/(2m M gh m v +=，系统动能为：)/()(21221m M gh m v M m E k +=+=(1) 碰撞前后瞬间，弹簧的伸长量为L 1=Mg/k, 系统势能为kg M kx E p 2212221== (2)到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为L 2 =(M+m)g/k ，设平衡位置时（M ＋m ）物体的速度为v ’,有：)()(21')(211211222L L g M m E E kL v M m P K -+++=++ (3) 2221')(21KA v M m =+， (4) 根据（1）（2）（3）（4）各式，得到kM m ghm k mg A )(2)(22++=；根据条件，此振动的角频率为mM k +在t=0时，M ＋m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。

设t=0时偏离平衡位置位移为x ，有：2122121KA E kx K =+ 得到kmg x ＝ 初始相位为：π+++kM m ghmk mg k mg )(2)(arccos22;也可写成：π++gm m kh)(2arctan所以，振动方程为：))(2)(arccos cos()(2)(2222π+++⨯+++=kM m ghmk m g k m g t m M k k M m ghm k m g x ＋或者：）＋π++⨯+++=gm m kht mM kk M m ghm k mg x )(2arctancos()(2)(02218 (自测提高23) 如图13-31所示。