消元法解线性方程组的一般步骤：
）的增广矩阵.
（一）设,将的第
()再加到第行上(),使化成如下形式对这个矩阵的第二行到第行
其中
注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶
增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间
其中
化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解
中,,中的第个方程“”是矛盾
中,
当时，方程组（
因为，则满足：
的最后一个方程中解出,再回代到第个方程求出.
则可求出未知量.
当时
则可求出含有个未知量的表
任给个未知量的一组值就可定出的值如果取,其中为任意常数
. 个未知量可称为自由未知量
=+++
以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,
若,
若,且有个自由未知量
若,
求增广矩阵与系数矩阵的秩；
对增广矩阵作初等行变换可以同时得到增广矩阵与系数矩阵的
秩.
因为,
对增广矩阵作初等行变换
因为,
将含未知量的项移到等式的右端
设未知量,
(为任意常数对增广矩阵作初等行变换
因为
4 取何值时
当时,,
当时, ,设(为任意常数
5 为何值时线性方程组
对增广矩阵施以初等行变换 =
当且时, ,
当时, ,
当时,,
为系数矩阵，为常数项矩阵
由于增广矩阵的最后一列元素全为零
若,
，则方程组（
对于个方程个未知量的齐次线性方程组,
）若秩,
）若秩,
即时
对于个未知量个方程构成的齐次线性方程组当系数行列式值等于零也就是系数矩阵经过初等行变换化为阶梯型矩阵必有零行从而系数矩阵的秩
对增广矩阵作初等行变换
系数矩阵的秩,
(为自由变量令,
=
对增广矩阵作初等行变换
系数矩阵的秩,
若选择为自由未知量并设得
(为任意实数
=。