泛函分析基础试卷参考答案
所以T有界,且|| T ||M.(2分)
又对en{0,, 0, 1, 0,, }X, || en||1,
|| T ||sup|| x ||1|| T x |||| T en|||| {0,, 0, an, 0,} || = | an|(5分)
所以|| T ||supn| an|M.
所以|| T ||M.(3分)
所以2A x, y0x, yH
所以A x0xH
所以A0.(5分)
4.证明无穷维赋范线性空间X的共轭空间X '也是无穷空间.
证设{ x1, x2,}是X中线性无关向量,
由Hnha-Banach定理
存在f1X ', f1(x1)0,
存在f2X ', f2(x2)0, f2(x1)0
存在f3X ', f3(x3)0, f3(x1)f3(x2)0
所以(T), (5分)
对[0, 1],定义线性算子T : XX,对xC [0, 1]
(T x) (t) x (t)t[0, 1]
由|| T x ||maxt[ 0, 1]| x (t) |
maxt[ 0, 1]| x (t) |
|| x ||
所以T有界.且
T (AI)(AI) TI
所以(A),
所以(A)[0, 1]. (5分)
令SB1A1B (XX),则
S TB1A1ABI, A B B1A1I (2分)
所以ST1,所以T是正则算子. (1分)
二.以下各题每题15分,共75分
1.设X是度量空间, {xn}是X中Cauchy列,证明若存在{xn}的收敛子列{xn k},则{xn}收敛.
证设xX, xn kx (k)
对任何> 0,存在K, k > K时,
集美大学试卷
一.以下各题每题5分,共25分
1.设X, Y是赋范空间,证明乘积空间XY按范数|| (x, y) |||| x |||| y ||成为赋范空间.
证1.对任何(x, y)XY, || (x, y) |||| x |||| y ||0,
|| xy ||0|| x |||| y ||0
x0, y0(x, y)(0, 0). (2分)
若存在[0, 1],是A的特征值,则存在xC [0, 1], x0
使A xx.从而对任意t[0, 1]
t x (t)x (t)
因而t时, x (t)0,由x的连续性, x0,得矛盾.
所以A没有特征值. (5分)
3.设H是实内积空间, A是H上自伴算子,证明A0的充分必要条件是对所有xH,A x, x0.
证必要性:A x, x0, x0,xH.(3分)
充分性:对任意x, yH
0A (xy), xy
A x, xA x, yA y, xA y, y
A x, yA y, x(5分)
由T是自伴算子A y, xy, A xA x, y,(2分)
一般存在fnX '
fn(xn)0, fn(x1)fn(xn1)0(6分)
下面证明{ fn}线性无关,设
0
则
( ) (x1)1f1(x1)010
( ) (x2)2f2(x2)020
( ) (xn)nfn(xn)0n0 (7分)
所以f1,, fn线性无关,所以{fn}线性无关,
所以X '是无穷维的. (2分)
又设xnN ( f ),且xnxX,由f连续
f (x)limnf (xn)0
所以xN (f).所以N ( f )是闭集. (2分)
3.设H是内积空间, MH,证明MM.
证设x意性, MM. (3分)
4.设X是赋范线性空间,泛函序列{fn}X ',证明若fn强收敛于f,则{fn}必w*收敛于f.
d (xn k, x) </ 2 (4分)
由{xn}是Cauchy列,存在N, n, m > N时,
d (xn, xm) </ 2, (4分)
取k ' > K, nk '> N,则有n > N时
d (x, xn)d (x, xn k ')d (xn k ', xn)
/ 2/ 2(5分)
所以xnx (n),所以{xn}收敛. (2分)
2.设Xlp( p > 1), {an}是一有界数列, Msupn| an|.定义线性算子T : XX为
T x{ a11, a22,, ann,},x{1,2,,n,}X
证明T有界,且|| T ||M.
证对任何x{1,2,,n,}X
||T x|||| { a11, a22,, ann,} ||
M || x ||(5分)
||x1|||| x2|||| y1|||| y2||||(x1, y1) |||| (x2, y2) || (2分)
2.设X是赋范线性空间, f是X上连续线性泛函,证明f的零空间N (f)是X中闭子空间.
证对任何x, yN ( f ),及任何,
f (xy)f (x)f (y)0
所以xyN ( f ).所以N (f)是线性空间. (2分)
证由fn强收敛于f, || fnf ||0 (n). (2分)
对任何xX
| fn(x)f (x) || (fnf ) x ||| fnf || || x ||0 (n)
所以{fn} w*收敛于f. (3分)
5.设X是赋范空间,A, BB (XX)是X上正则算子,证明TA B是X上正则算子.
证A, B是正则算子,所以A1, B1存在,且A1, B1B (XX) (2分)
2. ||(x, y) ||||x ||||y |||| || x |||| || y ||
|| ( || x |||| y ||)|| || (x, y) ||. (1分)
3.对任何(x1, y1), (x2, y2)XY,
||(x1, y1)(x2, y2) ||||(x1x2, y1y2) ||||x1x2|||| y1y2||
5.设XC [0, 1], AB (XX)定义为对任何xX
(A x) (t)t x (t),t[0, 1]
证明(A)[0, 1],且A没有特征值.
证对[0, 1],
任意xC [0, 1]
((AI) x ) (t)t x (t)x (t)
所以((AI) x ) ()0,
所以(AI) xI
所以AI不存在有界逆