泛函分析期末试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 点集
答案：D
2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 函数空间的对偶空间
答案：C
3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 函数空间的对偶范数
答案：B
4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？
A. 嵌入定理
B. 开铃定理
C. Hahn-Banach定理
D. Banach-Steinhaus定理
答案：B
5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 内积空间
答案：D
二、填空题
1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题
1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
对于函数f(x) = x^2，我们可以计算其范数：
||f|| = √∫(0,1)x^4 dx = √(1/5) = 1/√5。
因此，函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数为1/√5。
2. 对于给定的函数空间L²[0,1]，计算函数f(x) = sin(x)在L²[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以计算其范数：
||f|| = √∫(0,1)sin^2(x) dx = √(1/2) = 1/√2。
因此，函数f(x) = sin(x)在L²[0,1]上的范数为1/√2。
四、证明题
1. 证明Hahn-Banach定理的限制形式：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，并且满足f(y) ≤ p(y)对所有的y∈Y成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
证明：首先，我们定义线性空间V = X/Y，即X模去Y所得到的商空间。
对于y∈Y，我们可以定义映射g：V→R或C为g([x]) = f(x)，其中[x]表示属于X/Y的一个向量，x∈X，且x∈[x]，即[x]是[x]中元素的代表。
我们需要证明：
(1) 定义的映射g是良定义的。
(2) 定义的映射g是线性的。
(3) 对于所有的x∈X，有g([x]) ≤ p(x)成立。
(1) 良定义性证明：
设[x']∈[x]，则[x'] = [x] + [y']，其中y'∈Y。
由于f是定义在Y上的线性泛函，我们有f(y') ≤ p(y')。
又因为f(x) = g([x])，f(x') = g([x'])，则f(x) ≤ f(x')。
因此，定义的映射g在商空间V上是良定义的。
(2) 线性性证明：
设[x_1],[x_2]∈V，有[x_1] = [x] + [y_1]，[x_2] = [x] + [y_2]，其中y_1,y_2∈Y。
对于任意实数或复数a，我们有：
g([ax_1 + x_2]) = g(a[x_1] + [x_2]) = g(a[x] + a[y_1] + [x] + [y_2]) = g((a+1)[x] + a[y_1] + [y_2])
= (a+1)f(x) + af(y_1) + f(y_2) = a(g([x_1])) + g([x_2])。
因此，定义的映射g在商空间V上是线性的。
(3) 不等式成立性证明：
对于任意的x∈X，我们有[x] = [x] + [0]，其中[0]表示零向量在商空间V中的表示。
由于f(y) ≤ p(y)对所有的y∈Y成立，我们有f(x) ≤ f(x) + f(0) = g([x]) + f(0) ≤ p(x) + p(0) = p(x)。
因此，对于所有的x∈X，有
g([x]) ≤ p(x)成立。
综上所述，存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
综合以上证明，我们完成了Hahn-Banach定理的限制形式的证明。
以上为泛函分析期末试题及答案，希望能对您有所帮助。