福建省莆田一中-第一学期期末考试卷高三数学(理科)注意事项：非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+ P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）= P（A）· P（B）()()22221211236n n nn++++++=第一部分选择题(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y RB x y x y x y R=+=∈=-=∈,则集合A B的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 32．已知向量OA和向量OC对应的复数分别为34i+和2i-，则向量AC对应的复数为A．53i+B．15i+C．15i--D．53i--3.函数()sin cos()f x x x x R=-∈的最小正周期是A.2πB. πC. 2πD. 3π4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为A.4B.2C.2D.125.如图1所示的算法流程图中，第3个输出的数是A. 1B.32C. 2D.526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是A. 2(80cm+B. 296cmC. 2(96cm+主视图左视图D. 2112cm8．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是A ．72B ．73C ．74D ．759.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞10.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =， 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =， 若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.4VK B. 3V K C. 2V K D.V K第二部分 非选择题(共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是12.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则1100a a += , 123499100a a a a a a ++++++=图213．已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直，则实数λ的值为 .14.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D ,若圆222:O x y r +=上的所有点都在区域D 内上，则圆O 的面积的最大值是15．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是单调函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a c b ac +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 17．（本小题满分14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：1BDD AC 平面⊥(Ⅱ)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面EC A 1的距离.18．（本小题满分14分）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为23()37004510R x x x x =+-（单位：万元），成本函数为()4605000C x x =+（单位：万元），又在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-。

（Ⅰ）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（提示：利润=产值-成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（Ⅲ）求边际利润函数()MP x 单调递减时x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？19．（本小题满分12分）中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行，之前甲、乙两人参加1B 1C ED CBA1D 1A大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。

规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布（列表）及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．20.(本小题满分14分)如图所示，已知曲线(01)x t t =<≤与曲线1C (1) 求证:曲边．．四边形面积()S f t =3221()6f t t at a t =-+(2)求函数()S f t = 21．（本小题满分14分）已知曲线C ：xy e =点1Q ，过点1Q 作x 2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求21ni i OP =∑x莆田一中-第一学期期末考试卷 高三 数学(理)参考答案及评分标准20x x m +-=若方程有实数根 则m >0 ; 100、 5000； 23； 45π；022=-≤≥t t t 或或三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-=＝12 (2分) ∵0B π<<，∴ 3B π=． (4分)（Ⅱ）解法一：将3c a =代入222a c b ac +-=，得b =． ……6分由余弦定理，得222cos 214b c a A bc +-==． ……8分∵0A π<<，∴sin 14A ==． (10分) ∴sin tan cos A A A ==． (12分)解法二：将3c a =代入222a c b ac +-=，得b =． ……6分由正弦定理，得sin B A =． (8分) ∵3B π=，∴sin A =． (10分)又b a =>，则B A >，∴cos A ==。

∴sin tan cos A A A ==． (12分)解法三：∵3c a =， 由正弦定理，得sin 3sin C A =． ……6分∵3B π=，∴()23C A B A ππ=-+=-． ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-=⎪⎝⎭． ……8分∴22sin cos cos sin 3sin 33A A A ππ-=．∴1cos sin 3sin 22A A A += ……10分∴sin tan cos A A A == ……12分 17．（本小题满分14分） 解法一：（1）连接BD ，由已知有ABCD D D 平面⊥1 得D D AC 1⊥…………………………………1分又由ABCD 是正方形，得：BD AC ⊥……2分 ∵D D 1与BD 相交，∴1BDD AC 平面⊥……3分（2）延长DC 至G ，使CG=EB ，,连结BG 、D 1G ， ，∴四边形EBGC 是平行四边形.∴BG ∥EC. ∴BG D 1∠就是异面直线BD 1与CE 所成角…………………………5分 在BG D 1∆中，321=B D 13325221=+==G D BG ，…………………6分15155322135122cos 1212211=⨯⨯-+=⋅-+=∠∴BG B D G D BG B D BG D 异面直线 1BD 与CE 所成角的余弦值是1515……………………………8分（3）∵CBE AE A ∆≅∆1 ∴51==CE E A 又∵321=C A ∴ 点E 到C A 1的距离235=-=d ，有：62111=⋅=d C A S EC A 12111=⋅=A A EB S EB A ，…………11分 又由EB AC EC A B V V 11--= ， 设点B 到平面EC A 1的距离为h ，则CB S h S EB A EC A ⋅=⋅113131 ， 有26=⋅h ，36=h ， 所以点B 到平面EC A 1的距离为36…14分 解法二：（1）见解法一…………………………3分EB CG //（2）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则有B （2，2，0）、1D （0，0，2）、E （2，1，0）、C （0，2，0）、1A （2，0，2）∴=1BD （-2，-2，2），=（2，-1，0）………5分15155322,cos 1-=⨯-=⋅>=<CE BD CE BD ……7分 即……余弦值是1515……8分（3）设平面EC A 1的法向量为),,(z y x =， 有：01=⋅A ，0=⋅，…………8分由：=A 1（0，1，-2），=（2，-1，0）…………………………9分 可得：⎩⎨⎧=-=-0202y x z y ，令2=y ，得)1,2,1(=n …………………………11分由=（0，1，0） 有：点B 到平面EC A 1的距离为3662===h ………………14分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）32()()()104532405000P x R x C x x x x =-=-++-,*(,x 20)x N ∈≤≤且1; 2分2MP(x)P(x 1)P(x)30x 60x 3275=+-=-++,*(N ,)x x 19∈≤≤且1. …………… 4分（Ⅱ）()()().2P x 30x 90x 324030x 12x 9'=-++=--+(),()0x 12 P x 0x 12P x 0∴><＇＇当 <<时当>时 . 12()x P x ∴=，有最大值.即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大． ……………………8分 （Ⅲ）())22MP x 30x 60x 3275=30x 13305,=-++--+( ……………………11分所以，当x 1≥时，()MP x 单调递减，x 的取值范围为[]1,19，且.x N *∈ …………12分()MP x 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．14分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则343101(0)30C P C ξ===，12643103(1)10C C P C ξ⋅===，21643101(2)2C C P C ξ⋅===，363101(3)6C P C ξ=== (4分)其分布列如下：甲答对试题数ξ的数学期望： E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯． …………6分 （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+， P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C ．………9分 因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． …………………12分 另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为（三种情况两两互斥、A 、B 相互独立）()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．20. （本小题满分14分）解：(1)由222(0,0),(,)2y x O A a a y x ax ⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得22(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分故2222011(2)(2)()22t S x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰32216t at a t =-+3221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分222211(2)()2()0,2022:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t ''=-+=-+===≤ 令即解得或由舍去) 8分若2(212a a +≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥ 21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分2(212a a +-≤≤≤若即, 0<t 1,(2t a ∴<<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴=的最大值是 13分综上所述[]2max31,6()21),13a a a f t a a ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分 21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵xy e '=，∴曲线C ：xy e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =．此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P (),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：xy e =在点n P 处的切线方程为()nn x x n y ee x x -=- (4)分令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列。