课时作业(二十)[学业水平层次]一、选择题1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.应选A. 【答案】 A2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266B ．－52266 C.52222D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266. 【答案】 A3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD →＝(0,1,0)．取PD 中点为E ，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE →＝22， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°.【答案】 B4．(2014·师大附中高二检测)如图3­2­29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1­A 1B ­E 的余弦值为( )图3­2­29A ．－33B ．－32 C.33 D.32【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ A 1E →·m ＝0，A 1B →·m ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1­A 1B ­E 为锐二面角，所以二面角B 1­A 1B ­E 的余弦值为33，故选C. 【答案】 C二、填空题5．棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12， ∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252·52＝25， 故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 【答案】 256．(2014·高二检测)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)、B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →＝(1,3，6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74. 【答案】74 7．已知点E ，F 分别在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，1，13，F⎝⎛⎭⎪⎫0，1，23，所以AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，13，则⎩⎪⎨⎪⎧n2·AE→＝0，n2·EF→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y＋13z＝0，－x＋13z＝0.取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝31111.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23.【答案】23三、解答题8. 如图3­2­30所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.图3­2­30(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：连结OC ，由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，0，∴BA →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)，∴cos〈BA→，CD→〉＝BA→·CD→|BA→|·|CD→|＝24.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.9．四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)∵AC→＝(－a，a,0)，DP→＝(0,0，h)，DB→＝(a，a,0)，∴AC→·DP→＝0，AC→·DB→＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，P(0,0，2a)，E⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a，12a，22a，设AC∩BD＝O，O⎝⎛⎭⎪⎫a2，a2，0，连结OE，由(1)知AC⊥平面PDB 于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵EA→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a，－12a，－22a，EO→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，－22a，∴cos∠AEO＝EA→·EO→|EA→|·|EO→|＝22，∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.[能力提升层次]1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E 是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( ) A．60°B．90°C．45°D．以上都不对【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以A1E→＝(0,1，－1)，D1E→＝(1,1，－1)，EA→＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0. 令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)，cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1. 所以〈n ，EA →〉＝180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°.【答案】 B2．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1. 而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22， 又∵a ＞0，∴a ＝125. 【答案】 1253. 三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3­2­31A.55B.53C.255D.35【解析】不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则AB1→＝(－2,2,1)，C1B→＝(0，－2,1)，所以cos〈AB1→，C1B→〉＝AB1→·C1B→|AB1→||C1B→|＝－2×0＋2×－2＋1×19×5＝－55.因为直线BC1与直线AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55.【答案】 A4. 如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．图3­2­32(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；. . . .. .word 资料. .. (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．【解】 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4) ，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。