( K )
而 f ( ) d f ( ) d
C z
K z
f (z) d K z
K
f ( ) f (z) d z
z
D
K
C
2if (z) f ( ) f (z) d
K z
故
f ( ) d C z
2if (z)
K
f ( ) f (z) d z
f ( ) f (z)
z 2 z 1
z1
2i sin1
例2
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
a i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式 2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f
(z0 )
1
2 i
f ( ) d C z0
1
2 i
2 0
f
(z0 R ei Rei
)
Riei d
1 2π
2π 0
f
( z0
R ei )d.
例3 设f (z)在闭圆 z R上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时
f (z) a
而且
f (0) a
试证,在圆 z R内, f (z)至少有一个零点.
设z h D 是D内另一点。
只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0
f (z h)
h
f (z) 1
2i
C
f
(
( )
z)2
d
1[ 1
h 2 i
C
f ( )
z
h
d
1
2 i
f ( ) d C z
h
2 i
C
f
(
( )
z)2
d
]
h
2i
C (
z
f ( ) h)(
z)2
d
现在估计上式右边的积分。设以z为心，以d为 半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取 z+h，使得0<|h|<d，那么当 C 时
该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
3平均值公式
定理3.12 如果函数f (z)在圆 - z0 R内解析, 在闭
圆 - z0 R上连续,则
1
f (z0 ) 2π
2π 0
f
(z0
R ei )d.
即f(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.
证明 设圆周C : z0 R ei , 0 2
1, a
F (Rei )
1 f (Rei )
1, a
从而
1 F (0) a
1 2π F (R ei )d
2π 0
1 2π F (R ei ) d 1 1 2 1 ,
2π 0
2π a a
矛盾
二 解析函数的无穷可微性
1 定理3.13 在定理3.11条件下,函数f(z)在区域D 内有各阶导数,并且有
f (n) (z) n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
,
(n
1, 2,3,...), (z
D)
注上式也可写成
(
f
(
z)
1
2i
C
f
(
) z
d
)
f (z)
C (z a)n1
dz
2 i
n!
f
(n) (a),
(n 1, 2,3,...), (a D)
该公式在求积分是常用到
证明 先证明结论关于n=1时成立。
| z | d,| z h | d,
设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度 是L，于是我们有
| h
2 i
C
(
z
f ( ) h)(
z)2
d
|
|h|
2
ML d3
,
因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。
现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，
结论成立。取z及z+h同上，那么有
z.
D
C
则F( )在D内除z外解析,
以 z为心, 充分小的为半径
作圆周K : z
使K 及其内部全含于D内,
z K D
C
对复周线 C K,由定理有
f ( ) d f ( ) d
C z
K z
因为 f (z)在D连续, 所以对 0,只要充分小,就有
f ( ) f (z) , 2
证明 若f (z)在 z R内无零点,
y
由于当 z R时, f (z) a 0, 故f (z)在 z R内无零点,
f (z) a
•
o
•
x
从而F (z) 1 在 z R内解析, f (z)
由平均值公式
F (0) 1 2π F (R ei )d. 2π 0
因为 F (0) 1 f (0)
(3) Cauchy积分公式也可写成
C
f z
(z) a
dz
2 if
(a)
(a D),
但若aD, 则
C
f z
(z) a
dz
0.
(3.15)
例1 求积分 sin z dz z 2 z 1
解 因为 f (z) sin z 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式Βιβλιοθήκη sin z dz 2i sin z
第三节 柯西积分公式及其推论
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问题的提出
设 D 为一单连通域, z0 为 D 中一点.
如果
f
(z)
在 D内解析,
那末
f (z) z z0
在
z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 D 内围绕 z0 的闭曲线.
根据复围线积分性质知,
ds
ds .
K z
2 K
故 lim f ( ) d 2if (z)
0 K z 根据复周线积分定理,上面积分值与无关
即
C
f
( ) d
z
2 if
(z)
柯西积分公式
2定义3.4 在定理3.11条件下
1
2
i
C
f
(
) z
d
,
(z C)
称为柯西积分.
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
一、柯西积分公式
1定理3.11 设区域D的边界是周线或复周线C, f (z)
在D内解析,在D=D+C上连续, 则
f
(z)
1
2 i
C
f
(
) z
d
,
(z
D)
这就是柯西积分公式.
证明 对z D
设F ( ) f ( ) z