（2012 届）本科毕业论文（设计）题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用学院：教师教育学院专业：数学与应用数学（师范）班级：数学082学号：姓名：指导教师：完成日期：教务处制诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

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论文(设计)作者签名：签名日期：年月日柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用王莉莉（嘉兴学院数学与信息工程学院）摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式.关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formulas ofthe Origin and its ApplicationWanglili（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）Abstract:Complex-variable function is a comprehensive university or institute of technology of normal colleges and universities professional required courses. It is real veriables function of the promotion and development of calculus. One cauchy integral theorem and cauchy integral formula is a complex function theory foundation. It is the key of sresearching complex function theory. One of its important contents is the cauchy integral theorem, which says that the integral along a contour of an analytic function is zero. This paper studies the cauchy integral theorem and cauchy integral formula related concepts and prove, promotion and in algebra fundamental theorem of integral proof, in the calculation of the application. It discusses the closely related of the cauchy integral theorem and cauchy complex functions. The famous cauchy integral formula can follows easily from the cauchy integral theorem. Also residue theorem are briefly introduced. Use of residue theorem can get the complex functions respectively cauchy integral theorem and cauchy integral formulas and high derivatives formula.Key words:Complex-variable function;cauchy integral theorem;cauchy integral formula;residue theorem目录1 绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.1.1 复变函数概况 (1)1.1.2 复积分的定义 (2)1.1.3 柯西积分定理的引入 (3)1.2 本文的研究工作 (4)1.3 本文的未来工作 (4)2 柯西积分定理 (5)2.1 柯西积分定理 (5)2.2 柯西积分定理的证明 (5)2.3 柯西积分定理的推广 (6)2.4 柯西积分定理的应用 (9)3 柯西积分公式 (12)3.1 柯西积分公式 (12)3.2 柯西积分公式的证明 (12)3.3 柯西积分公式的推广 (13)3.4 柯西积分公式的应用 (14)4 复变函数积分之间的关系 (18)4.1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 (18)4.2 复变函数积分与留数定理的关系 (19)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索.复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯.柯西建立了复变函数的微分和积分理论.1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理[3].1.1.1 复变函数概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显a ，其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复现出来.复数的一般形式是：bi变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点,它是数学分析在研究领域的扩展.在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点.这样，才能抓住本质，融会贯通.复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数.复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具.由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面.利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明.对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数.黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来.近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质.复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明.导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换.共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用.留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数，它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数.广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。

解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数.广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用.因此，近年来这方面的理论发展十分迅速.从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用.1.1.2 复积分的定义复积分是复变函数理论中的最基本的概念之一,和各种实积分相比，复积分的定义看上去比较简单，但复积分却具有十分奇特的性质——柯西积分定理，从这个著名定理出发可以导出许多关于解析函数的重要性质[4].为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均指光滑或逐段光滑曲线，因而是可求长的[1]，曲线通常还要规定其方向，不是闭的曲线的方向，则只须指出它的起点和终点即可．定义1 设有向曲线()t z z C =:，)(βα≤≤t 以()αz a =为起点，()βz b =为终点，()z f 沿C 有定义，在C 上从a 到b 的方向取分点：b z z z z a n n ==-,,,110 ，把曲线C 分成n 个弧段(图1）(图1）在从k z 到1+k z ()n k ,,2,1 =的每一个弧段上任取一点k ζ，作成和数()k n k k n z f S ∆=∑=1ζ，其中1--=∆k k k z z z ()n k ,,2,1 =.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ,则称()z f 沿C （从a 到b ）可积，J 称为()z f 沿C 的积分，记为()dz z f J C ⎰=，C 称为积分路径.同时()dz z f C ⎰表示沿C 的正方向的积分，()dz z f C ⎰-表示沿C 的负方向的积分． 定理1.1.1 若函数()()()y x iv y x u z f ,,+=沿曲线C 连续，则()z f 沿C 可积，且()⎰⎰⎰++-=C CC udy vdx i vdy udx dz z f . （1.1.1.） 公式（1.1.1.）式说明，复变函数积分的计算问题，可以转化为其实、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.1.1.3 柯西积分定理的引入在积分⎰Czdz （C 表连接点a 及b 的任一曲线）中，被积函数()z z f =在单连通区域z 平面上处处解析，它沿连接起点a 与终点b 的任何路径C 的积分值都是相同，即积分与路径无关，或者说沿z 平面上任何闭曲线的积分为零；但在积分()⎰-C n a z dz （C 表示以a 为心，ρ为半径的圆周）中，被积函数()a z z f -=1只以a z =为奇点，即在“z 平面除去一点a ”的非单连通区域内处处解析，但是积分()02≠=-⎰C n i a z dz π，其中C 表圆周0>=-ρa z ，即在此区间内积分与路径有关；积分⎰Czdz Re 中，被积函数()z z f Re =在单连通区域z 平面上处处不解析，而积分值却与连接起点O 与终点i +1的路径有关，即沿z 平面上任何闭曲线的积分，其值不恒为零．我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域D任何闭曲线的积分值是否为零的问题．1825年，柯西肯定地回答了上述问题，得到了著名的柯西积分定理[1].1.2 本文的研究工作柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19世纪最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一，许多重要的性质定理都由它们直接或间接推导出来的.现有的资料中对柯西积分定理的条件进行深层次的挖掘的文献又很少，故在教学过程中，一般都是用复积分的概念来求解，很少有找到简捷方法，考虑到柯西积分定理是复变函数积分的基础，也是连接其它其他学科的枢纽，对其研究具有较强的理论价值和现实意义.柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一，无论对解析函数的理论研究还是它的直接应用,都是非常有意义的.本文研究的问题是柯西积分定理及柯西积分公式的相关知识及证明，他们在代数基本定理、实积分计算和证明中的应用，在收集和整理已有的文献资料的条件下，认真分析了柯西积分定理的相关条件，结合柯西积分公式、留数定理、高阶导数公式进行了比较研究.1.3 未来的研究工作柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，在后面的学习中，通过推广的柯西积分定理，得到了很多重要的定理，在机械、力学、数学物理等方面有着广泛和重要的应用 ,然而对柯西积分定理的条件进行深层次的挖掘的文献又很少，尽管近几十年来理论上得到了不少结果，但通常很繁琐，还有一些其它因素.2 柯西积分定理2.1 柯西积分定理柯西积分定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性质,都是由这个定理派生出来的.下面给出几个定理：定理2.1.1（柯西积分定理） 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 上解析，C 为D 内任一条周线，则()0=⎰dz z f c.定理2.1.2 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一闭曲线（不必是简单的），则()0=⎰dz z f c.引理2.1.3 设()z f 是在单连通区域D 内的解析函数，设C 为D 内的一个多角形的周界，那么()0=⎰dz z f c.推论2.1.4 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则()z f 在D 内的积分与路径无关.即对D 内任意两点0z 与1z ，积分()dz z f z z ⎰10之值，不依赖D 内连接起点0z 与终点1z 的曲线.2.2 柯西积分定理的证明柯西定理是复变函数论中的重要定理之一,教材中有多种证法,大多数是在附加导函数连续的条件下给出的,证明不够严密,为此,讨论了一种取消该附加条件后的证法,过程虽复杂,但证明严密、思路清晰. 1.黎曼证明1851年，黎曼在附加假设“()z f '在D 内连续”的条件下，得到如下的简单证明. 令()()()y x iv y x u z f iy x z ,,,+=+=，由公式()⎰⎰⎰++-=cccudy vdx i vdy udx dz z f ，而()z f '在D 内连续，导致y x y x v v u u ,,,在D 内连续，并适合..R C -方程：.,x y y x v u v u -== 由格林定理，⎰⎰=+=-ccudy vdx vdy udx 0,0，故得()0=⎰dz z f c.2.柯西积分定理的简化证明[5]设C 所围成的区域是0D ，取一个四边平行于坐标轴的矩形，把C 包含在内.用线段连接矩形对边的中点，最多可把0D 分成四块.不妨设分成1D 、E 、F 、G 四块.由于()z f 沿C 的积分等于沿这四块区域边界积分的和，所以必有一块边界上的积分，满足()()⎰⎰≥∂cD dz z f dz z f 411.用同样的方法把1D 分成至多四块，其中必有一块2D 使得()()()⎰⎰⎰≥≥∂∂cD D dz z f dz z f dz z f 2414112.把这种做法一直进行下去，可以得到曲线C 内的一串矩形区域或矩形被曲线C 截得的区域n D ：使得()()⎰⎰≥∂cnD dz z f dz z f n41 （2.2.1）由Cantor 定理可知存在唯一一点0z 属于每个n D 或n D ∂，而且∞→n 时，0z D n →. 因为()z f 在0z 有导数()z f '，所以对任何0>ε，当z 与0z 充分接近时， ()()()()000z z z f z z z f z f -≤'---ε. 因为()00=⎰∂nD dz z f ，()()00='-⎰∂nD dz z f z z ，所以当n 充分大时，()()()()()ds z z ds z f z z z f z f dz z f nnnD D D ⎰⎰⎰∂∂∂-≤'---≤00000ε. (2.2.2)设最大矩形的周长是L .当n 充分大时，对于n D z ∂∈，有n D z z ∂<-0的周长，所以n n n D n D L L Lds L ds z z n n4221220εεεε=⨯≤≤-⎰⎰∂∂，再由式(2.2.2)和式（2.2.1）得()2L dz z f Cε≤⎰因为ε可以是任意正数，所以()0=⎰dz z f C上面通过构造收敛于一点的嵌套子区域序列，并对围绕子区域边界积分的模进行估计，给出了柯西积分定理的一种简捷证明方法.2.3 柯西积分定理的推广1.单周线的柯西积分定理首先，容易证明柯西积分定理2.1.1与下面定理是等价的：定理2.3.1 设C 是一条周线，D 是C 的内部，函数()z f 在闭域C D D +=上解析，则()0=⎰dz z f c.其次，我们还可将定理2.3.1作更进一步的推广.定理2.3.3 设C 是一条周线，D 是C 的内部，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c.2.多围线的柯西积分定理我们从另一个方面推广柯西积分定理，即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域，推广到以多条围线组成的“复围线”为边界的有界多连通区域.定义2.3.2 考虑1+n 条围线n C C C ,,10，其中n C C C ,,10中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在0C 的内部.在0C 的内部同时又在n C C C ,,10外部的点集构成一个有界的多连通区域D ,以n C C C ,,10为它的边界.在这种情况下,我们称区域D 的边界是一条复周线n C C C ,,10,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的n C C C ,,21.换句话说,假如观察者沿复围线C 的正方向绕行时,区域D 的点总在它的左手边（图2.3.1是2=n 的情形）.图 2.3.1定理2.3.4 设D 是复周线---++++=n C C C C C 210所围成的有界1+n 连通区域，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c.或写成 ()()()010=+++⎰⎰⎰--dz z f dz z f dz z f n C C C （2.3.1）或写成()()()dz z f dz z f dz z f nC C C ⎰⎰⎰++= 1（2.3.2）（沿外边界积分等于沿内边界积分之和）注：定理2.3.4中的复周线换成单周线就是定理2.3.3.所以定理2.3.3是定理2.3.4的推广.证：取1+n 条互不相交且全在D 内(端点除外)的光滑弧n L L L L ,,,210作为割线.用它们顺次的与n C C C ,,21连接.设想将D 沿割线割破,于是D 就被分成两个单连通区域(如图2.3.1是2=n 的情形),其边界各是一条围线,分别记为1Γ和2Γ.而由定理2.3.3,我们有()()0,021==⎰⎰ΓΓdz z f dz z f将这两个等式想加,并注意到沿着n L L L L ,,,210的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质就得到()0=⎰dz z f c.从而有(2.3.1)和(2.3.2). 3.∞处的柯西积分定理[6]定理2.3.5 如果()z f 在00r z z >-内解析，并且()A z zf z =∞→lim ,那么对任何正数0r r >，有()⎰=rK A dz z f i π21，在这里r K 是按反时针方向选取的.证明：对任意的1r K ，2r K ()021,r r r >由定理2.3.4知()()dz z f i dz z f i r r K K ⎰⎰=212121ππ 这表明()dz z f i r K ⎰π21是一个常数，当然就有 ()()dz z f i dz z f i rr K r K ⎰⎰∞→=ππ21lim 21. 下面就来证明()A dz z f i r K r =⎰∞→π21lim.()()dz zAz zf i A dz z f i r r K K ⎰⎰-=-ππ2121,因为()A z zf z =∞→lim ,对于0>∀ε，M ∃，可选择使0r M >使得当M z >时有()ε<-A z zf ,那么对于上述给定的,0>ε当M z r +>0时，()zz A z zf ε<-. 将其代入()dz zAz zf i r K ⎰-π21中，可以得到()επεπεππ=<<-⎰⎰002212121r r ds zdz z A z zf i rr K K . 这说明()A dz z f i r K r =⎰∞→π21lim，那么()A dz z f ir K =⎰π21，所以结论成立. 2.4 柯西积分定理的应用1.周线上的复积分的计算柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具.例1：计算⎰++C z z dz222，其中C 为单位圆周1=z解：1=z 是()2212++=z z z f 的解析区域的一闭曲线，由柯西积分定理有0222=++⎰C z z dz注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西积分定理很简单. 例2：计算dz zz z C⎰--212的值，其中C 为含圆周2=z 的任何正向简单闭曲线. 解：dz z z dz z z z C C⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--111122， 分别以0=z ，1=z 为心做两完全含于C 内且互不相交的圆周1C ，2C ，则有dz z z dz z z dz z z z C C C⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--21111111122 dz z dz z dz z dz z C C C C ⎰⎰⎰⎰-++-+=2211111111i i ππ2002+++= i π4=例3：由积分⎰+=c z dzI 3()1:=z c 值，求周线上复积分的几种算法θθθπd ⎰++0cos 610cos 31的值. 解：因为符合柯西积分定理的条件，则有03=+⎰c z dz令)(,sin cos ππ≤≤-+=q q i q zdq q i q q i q z dzI c ⎰⎰-+++-=+=ππ3sin cos cos sin 3()()()()()⎰⎰⎰⎰----++++-=+++-=-+++-++-=ππππππππdq qq dq q q dq q q i q dq q i q q i q q i q q i q cos 610cos 31cos 610sin 3cos 610cos 31sin 3sin 3cos sin 3cos sin 3cos cos sin⎰-=+-=ππθθθ0cos 610sin 31d I0cos 610cos 312cos 610cos 3102=++=++=⎰⎰-θθθθθθπππd i d i I所以0cos 610cos 310=++⎰θθθπd .从例3我们可以看出,如果按照常规方法，用万能公式代换的话，将变得相当复杂，而柯西积分定理却避免了这种复杂性，使得解题思路清晰，解题过程简洁明了，很大程度上提高了解题效率，是求这类问题的好办法. 2.∞处柯西积分定理的举例 例4.计算积分dz z z ⎰=-2411.解：因为函数()z f 在2≥z 上解析，并且有01lim4=-∞→z zz ，所以由定理2.3.5知01124=-⎰=dz z z .注：如果用柯西积分公式计算会复杂很多. 3.证明代数基本定理[10]代数基本定理是高等代数中一个重要定理，用纯粹代数的方法是不容易证明的，因此，一般的高等代数的教材中都没有给出其证明.但从复变函数论的教材中，得到几种新的定理证明.首先，给出如下几个定理(代数基本定理) 在z 平面上，n 次多项式()nn na za z a z p +++=- 110()00≠a 至少有一个零点.下面分别用两种方法证明.证明：(反证法--应用柯西积分定理） 假设()z p n 在复平面C 上没有零点，则()()()z p z p z f '=在C 上解析，则由Cauchy 积分定理知，对0>∀R , ()0=⎰Γdz z f (2.4.1)其中{}R z z ==Γ()0=Γdz z f ，其中{}R z z ==Γ （2.4.2）同时若设{}i a M max =，则当R 充分大时有： n i ≤≤0()nMR a nMnMR R a nMR z n z f n n n -=-≤--+-201101 因此()mi zndz z f π2lim lim==⎰⎰ΓΓ与(2.4.1)式矛盾， ∞→R 即假设错误，定理得证.3 柯西积分公式3.1 柯西积分公式柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是研究解析函数的重要工具．由柯西积分公式，我们可以从解析函数的边界C 上的值推出它在C 内部的一切值，它反映出解析函数的特性,是解析函数论中最基本的公式．定理3.1.1 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()z f 在D 内解析，在CD D +=上连续，则有()()ξξξπd zf i z f c ⎰-=21 ()D z ∈.此式反映了解析函数值之间很强的内在联系：()z f 在曲线C 内任一点0z 的值()0z f 可以由()z f 在边界曲线C 上的值来决定，而实函数却不具有此性质.定义3.1.2()()c z d zf i c ∉-⎰021ξξξπ上式称为柯西积分，且有()()⎩⎨⎧=-⎰02100z f d z f i c ξξξπ D z D z ∉∈00 3.2 柯西积分公式的证明证明：对于任意固定一点D z ∈，则函数()()zf F -=ζζζ作为ζ的函数在D 内除点z 外解析．现以点z 为心，充分小的0>ρ为半径作圆周ργ，使D ∈ργ．对于复围线-+=ΓργC 及函数()ζF ，应用定理2.3.4的（2.3.1）式，得()()⎰⎰-=-ργζζζζd z z f d z z f C而前面我们已经知道()⎰=-ργπζζi d z z f 2因此()()()()⎰⎰--=--ργπζζζπζζζz if d z f z if d z f C 22 ()()()()⎰⎰⎰--=---=ρργγζζζζζζζζζd zz f f d z f d z f C又根据()ζf 的连续性知对0,0>∀>∀δε，只要δρζ<=-z 时，就有()()πεζ2<-z f f ()p γε∈ 于是由定理3.2知()()()()⎰⎰--=--ργζζζπζζζd zz f f z if d z f C 2επρπρε=⋅22 由ε的任意性即知，有()()⎰=-C z if d z f πζζζ2 （D z ∈）故有 ()()⎰-=C d zf i z f ζζζπ21. 3.3 柯西积分公式的推广1.高阶导数公式由柯西积分公式在积分号下求导数,可推测并能证明下面的高阶导数公式.定理3.3.1 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()z f 在D 内解析，在CD D +=上连续，函数()z f 在区域D 内有各阶导数，并且有()()()()ξξξπd z f i n z f c n n ⎰+-=12! ()D z ∈. 这是一个用解析函数()z f 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式. 由定理3.3.1，我们可得到解析函数的无穷可微性：定理3.3.2 设()z f 在区域D 内解析，则()z f 在D 内具有各阶导数，并且它们也都在D 内解析．注：定理3.3.2说明，只要()z f 在区域D 内解析，（仅假设()z f '在D 内存在），就可推出()z f 的各阶导数在D 内存在且连续，而在数学分析中，由()z f '在[]b a ,上存在且连续，还不能推出()z f ''在[]b a ,上存在，这就是复变函数较之实变函数优越的地方． 2.∞处的柯西积分公式[6]定理 3.3.3 如果函数()z f 在简单闭曲线C 的外区域D 内及C 上每一点解析，并且()a z f z =∞→lim ，那么()()⎩⎨⎧+-=-⎰a a z f d z f i C ζζζπ21 ， D z D z ∉∈这里C 的积分是按照反时针方向选取的. 3.0z 在积分路径C 上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要求被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分定理或柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能用柯西积分定理或柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．定理3.3.4 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，且在C 上f 满足Holder 条件，即()()()10,2121<≤-≤-ααz z K z f z f ，则有()()dz z z z f i z f C ⎰-=002121π，（C z ∈0） 3.4 柯西积分公式的应用柯西积分公式较柯西积分定理的高级之处在于它可以解决积分曲线内有被积函数的奇点且被积函数不是特殊函数的积分问题，它提供了一种计算积分的方法，更重要的是通过柯西积分公式可以把对解析函数的研究化为对柯西积分的研究． 下面举例说明柯西积分公式公式在积分计算中的应用. 例1：求()()ζζζζd i C⎰+-29，其中C 为圆周2=ζ分析：函数()29ζζζ-=f 在2≤ζ内解析，()()()i z i f g +-=--=29ζζζζζ在2≤ζ内有唯一奇点i -=ζ. 可以应用柯西积分公式求解.解：i -±=,3ζ是奇点，但是只有i -=ζ在圆周2=ζ内，且()29ζζζ-=f 在2≤ζ内解析，所以()()()59299222πζζπζζζζζζζζζ=-=---=+--=⎰⎰iC C i d i d i例2：求积分dz z zC⎰-1cos 2，其中C 为圆周：2=z 分析：1±=z 是被积函数的奇点,且都在C 的内部,不能直接套用柯西积分公式，可以分别应用因式分解和复围线的柯西定理,将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形,然后再用柯西积分公式进行求解.解法1：先将被积函数分解为部分分式,再应用柯西积分公式.[]0cos 2cos 2211cos 1cos 211cos 112=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--==⎰⎰⎰z z C C Cz i z i dz z z dz z z dz z z ππ 解法2：分别以1,1-==z z 为圆心, ()1<R R 为半径作小圆1C ,2C ,使1C ，2C 互不相交且都在2=z 的内部.此时,被积函数()1cos 2-=z zz g 在1C ,2C 内都只有1个奇点,应用复围线的柯西定理有⎰⎰⎰-+-=-121cos 1cos 1cos 222C C Cdz z zdz z z dz z z 再由柯西积分公式，得01cos 21cos 211cos 11cos 1cos 11212=-++=+-+-+=--==⎰⎰⎰z z C C Cz ziz zi dz z z z dz z z z dz z zππ例3：计算积分()dz z z I z ⎰=--=314321分析：()()4321-=z z z f 的两个奇点0=z ，2=z 都在31=-z 内，而()z f 的分母的次数大于2次，用高阶导数公式计算.解：在31=-z 内作互不相交互不包含的周线1C ,2C ，使分别包含0和2，由柯西积分定理和高阶导数公式，有 ()()⎰⎰-+-=21434322C C z z dzz z dz I ()!3221!2204i z i z ππ+"⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==()3231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z 0165165=-=ii ππ 例4：计算积分()()()dz z z z i C ⎰---9931121 π,其中98:=z C分析：()()()()99311---=z z z z f 有50个奇点，如果用柯西积分公式计算会很麻烦，所以用∞处的柯西积分公式简便. 解：因为函数()()()()97311---=z z z z f 在98≥z 解析，并且()0lim =∞→z f z ，所以根据定理3.3.3可以得到：()()()()()()492!4919909999219931121⨯-=-=+-=-=---⎰⎰f f d f i dz z z z i C C ζζζππ .例5：计算积分：dx xx⎰+∞sin . 分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化 为复数，利用定理3.3.4来求解就简单多了． 解：⎰⎰⎰⎰+-∞→+-∞→∞+∞-∞+===R R ixR R R R dx x e i dx x x dx x x dx x x lim 21sin lim 21sin 21sin 0设()ize zf =，()z f 满足Holder 条件，且()zz f 的奇点0=z 在积分路径上，由定理3.3.4得()i z f i dz z e dx x e R izRR ix ππ==+⎰⎰Γ+-220 由约当引理知0=⎰ΓRdz ze iz， 所以221lim 21sin 0ππ=⨯==⎰⎰+-∞→∞+i i dx x e i dx x x R R ix R . 例6：计算积分：()dz z z e Cz⎰-31 其中C 是不通过点0，1的周线． 分析：依题意积分路径C 有3中情形，（I ）1,0=z 都在C 的外部；（II ）0=z 在C 的内部，而1=z 在C 的外部；（III ）1=z 在C 的内部，而0=z 在C 的外部；（IV ）1,0=z 都在C 的内部.面根据分析的四中情况分别求出其积分值．解：（i)若1,0=z 都在C 的外部，则被积函数()()31z z e z F z -=在以C 为边界的闭域D 上解。