高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。
在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．下列函数中，当 x1时，与无穷小量 (1 x) 相比是高阶无穷小的是（）A ． ln( 3 x)B ． x 3 2x 2 xC ． cos(x1) D ． x 2 12．曲线 y 3x 31在(1,) 内是（）xA ．处处单调减小B ．处处单调增加C ．具有最大值D ．具有最小值3．设 f (x) 是可导函数，且 limf ( x 0 2h)f (x 0 )1，则 f ( x 0 ) 为（）hx 0A ．1B ．0C ．21 )x4．若 f (，则xx1A ．12C ．15．设 uxy z,u等于（xA ． zxy z C ． y z 1二、填空题：本大题共题中横线上。
D ．121f ( x)dx 为（ ）B ． 1 ln 2 D ． ln 2）B ． xy z 1 D ． y z10 个小题， 10 个空，每空 4 分，共 40 分，把答案填在6．设 ze xyyx 2，则z(1,2 )=．y7．设 f ( x) e x ln x ，则 f (3)．8． f ( x)x ，则 f ( 1) ．1 x x9．设二重积分的积分区域 D 是1x2y 24，则dxdy．D10．lim (11) x=．x2x11．函数f (x)1(e x e x ) 的极小值点为．212．若x2ax43，则 a．lim x 1x113．曲线 y arctanx 在横坐标为 1 点处的切线方程为．14．函数 yx2sin tdt 在x处的导数值为．021x sin 2x．15．dx1 1cos2 x三、解答题：本大题共13 小题，共 90 分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分 6 分）arctan 1x的间断点．求函数 f (x)x0x017．（本题满分 6 分）计算 lim x x 1 ．x2x 2118．（本题满分 6 分）1计算 lim ln arcsin x (1 x) x．x 019．（本题满分 6 分）1设函数 f (x)xe xx 0 ，求 f ( x) ．ln(1 x)1 x20．（本题满分 6 分）求函数 ysin( x y) 的二阶导数．21．（本题满分 6 分）求曲线 f (x)x 4 2x 3 的极值点．22．（本题满分 6 分）x 3计算dx ．2x123．（本题满分 6 分）若 f ( x) 的一个原函数为 xln x ，求 x f ( x)dx ．24．（本题满分 6 分）k dx1，求常数 k 的值．已知1x 2225．（本题满分 6 分）求函数 f (x, y) y 3x 2 6 x 12 y 5 的极值．26．（本题满分 10 分）求( x2y)dxdy ，其中 D 是由曲线y x 2与 x y 2所围成的平面区域．D27．（本题满分 10 分）设 f ( x) x2a a a 3．f ( x)dx ，且常数 a 1 ，求证： f (x)dx003(a1) 28．（本题满分 10 分）求函数 y ln x的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形．参考答案一、选择题1．B2．B3．D4．D5．D 二、填空题6．2e217．e3138．119． 3x10． e 12． 51211． x013．y1( x 1)42 214．sin15． 04三、解答题16．解这是一个分段函数， f ( x) 在点x0 的左极限和右极限都存在．lim f ( x)lim1 a r c t a nx 0x 0x21l i m f ( x) l i ma r c t a nx0x 0x2lim f ( x)lim f ( x)x0x 0故当 x0 时，f (x)的极限不存在，点 x0 是f ( x)的第一类间断点．111xx1x x212 17．解原式 = lim lim．22x2x1x1222x118．解设 f (x)arcsinx (1x) x．由于 x0 是初等函数ln f (x)的可去间断点，1故lim ln f (x)ln lim f ( x)ln lim a r c s xi n (1 x) xx0x 0x 01ln lim arcsin x lim (1x) xx 0x 0ln( 0 e) ln e 1．19．解首先在x0 时，分别求出函数各表达式的导数，即111111当 x0 时， f ( x) ( xe x) e x xe x e x (1x 2)x当 1x 0 时，f(x)ln( x1)x 1 ．1然后分别求出在 x0 处函数的左导数和右导数，即f(0)l i m11x0x111f( 0)lim e x (1) 0x0x从而 f(0)f(0) ，函数在x0 处不可导．11 )e x (1x0所以 f( x)x1x0x120．解y s i nx( y)y cos(x y)(1y ) c o sx(y)y c o sx(y)①y sin( x y)(1y )y c o sx(y)y s i nx(y) (1 y )1 cos(x y) y sin( x y)(1y ) 2y sin( x y)(1y ) 2②1 c o sx(y)又由①解得 ycos( x y)1cos(x y)cos( x2 cos(xy)y) 1cos(x y)代入②得 y11cos(x y)s i nx(y)1 c o sx( y) 321．解先出求 f ( x) 的一阶导数： f ( x)4x36x 24x2 (x3)2令 f( x) 0 即 4x 2 (x3 ) 0 解得驻点为 x 1 0, x 2 3 ．22再求出 f ( x) 的二阶导数 f ( x) 12x 212x 12x( x 1) ．当 x 23 时， f ( 3 )9 0 ，故 f ( 3 )27 是极小值．2 2 2 160 ，在 (0, 3) 内 f ( x) 0 当 x 10 时，f (0)0，在 (,0) 内，f (x)2 故 x 1 0 不是极值点．总之曲线 f (x)x 4 2x 2 只有极小值点 x3 ．2 22．解x 3x 3x xx(x 21) xxx2 1x 2 1x 21x 21 xx 3 dx( xx )dx xdxxdxx 2 1x 2x 2111 x2 1 d( x 21) 1 x 2 1l n x( 2 1) C2 2 x 1 2223．解 由题设知 f (x)(x ln x) ln xx(ln x)ln x 1故 xf (x)dxx(ln x 1)dxx ln x d x x d xln x 1 dx 2 1 x 212 21 x 2ln x x 2 x 2 d ( l nx)22 1 ln x x 21 x2 1 dx 1x 222 x 21 x2 ln x1 xdx 1 x 222 21x 2 ln x1 x2 C ．k2141 0dx 0dx klim 0dx24．解1 x 2k1 x 2a1 x 2ak lim arctan x a 0klim ( a r c t a)n kaa2又k dx11x 2 2故k1 解得 k1 ．2 225．解f 2 x 6, f3y 2 12xy解方程组2x 6 0 得驻点 A 0 (3,2), B 0 (3, 2)3y212又A f xx2, Bf xy 0,Cf yy 6 y对于驻点 A 0 : A2, B0,C6y x3 12 ，故 B 2AC240y2驻点 A 0 不是极值点．对于驻点 B 0 : A2, B 0, C 6y x 312y2故 B 2AC24 0，又A2 0．函数 f ( x, y) 在 B 0 (3, 2) 点取得极大值f (3, 2)( 2) 3 9 18 24 5 3026．解 由 yx 2 与 x y 2 得两曲线的交点为 O(0,0) 与 A(1,1)xy 2 ( y 0) 的反函数为 yx ．( x 21x(x 212 y 1 y 2 )2x dxy) dxdydx2 y)dy(x xDx0 21 51x) ( x41x 4) dx0 (x222( 2x 271 x2 3x 5 ) 103374101 4 027．证aa 2a dxf ( x)dxx f ( x)dxaaax 2dx0 f ( x)dx dx 01 x 3 0aaaf (x)dxdx3 0 0a 3aa f ( x) dx30a a a 3f ( x)dx af ( x) dx3aa3于是 f ( x) dx．3(a 1)28．解 （1）先求函数的定义域为 (0,) ．（2）求 y 和驻点： y1ln x，令 y 0 得驻点 x e ．x 2（3）由 y 的符号确定函数的单调增减区间及极值．当 0 x e 时， y 1 ln x0 ，所以 y 单调增加；x2当 x e 时， y 0 ，所以 y 单调减少．由极值的第一充分条件可知 1为极大值．yx e e（4）求 y 并确定 y 的符号：2 ln x3 ，令 y3y0 得 x e 2 ．x 33当 0 x e 2 时， y0 ，曲线 y 为凸的；3当 x e 2 时， y0 ，曲线 y 为凹的．33根据拐点的充分条件可知点(e 2 ,3e 2 ) 为拐点．2这里的 y 和 y 的计算是本题的关键， 读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x(0,e)e3 3 3(e,e 2)e2(e 2, )y ＋0 －－ －y－＋就表上所给的 y 和 y 符号，可得到：函数 yln x的单调增加区间为 ( 0, e) ；x函数 yln x 的单调减少区间为 ( e, ) ；x函数 yln x的极大值为 y(e)1 ；x eln x3函数 y的凸区间为 (0, e 2 ) ；xln x 3函数 y的凹区间为 (e 2 , ) ；x33函数 yln x 的拐点为 ( e 2 ,3e 2 ) ．x2（5）因为 limln x0 ， lim ln xxxx 0x所以曲线 yln x 有x 水平渐近线 y 0铅垂渐近线 x（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．。