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1.3.1 三角函数的周期性且A ≠0，ω＞0)的周期。
1．周期函数的概念（1)周期函数的定义:一般地，对于函数f （x )，如果存在一个非零的常数T ,使得定义域内的每一个x 值，都满足f （x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．（2）最小正周期：对于一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f （x ）的最小正周期．预习交流1周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x 值”改为“定义域内存在一个x 值”？ 提示:不能．反例：y ＝sin x (x ∈R ）对于x ＝错误!,T ＝错误!，显然有sin （x ＋T )＝sin 错误!＝sin 错误!＝sin x ，但T ＝π3不是它的周期． 2．三角函数的周期（1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π（k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π；正切函数y ＝tan x 也是周期函数,且最小正周期是π.（2)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝错误!。
若函数y ＝f (x ）的周期为T ，则函数y ＝Af （ωx ＋φ）的周期为错误!(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0,ω≠0）．预习交流2所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x ）＝5，x ∈R .当x 为定义域内的任何值时，都有f （x ）＝C ，即对定义域内的每一个x 值，f (x ）都有f (x ＋T )＝C ＝f (x ）,因此f (x ）是周期函数．由于T 是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f （x )＝C 没有最小正周期．一、函数周期性的证明已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m )＝－f (x ),求证：函数f （x )是周期函数,并且2m 是f （x ）的一个周期．思路分析:要证函数f (x ）是周期函数，就是要找到一个常数T ，使得对于任意实数x ，都有f（x＋T)＝f(x），可根据f(x＋m)＝－f(x)推导寻找．证明：∵函数f(x)对任意实数x，都有f(x＋m）＝－f（x)，∴f(x＋2m)＝f［(x＋m）＋m］＝－f(x＋m）＝－[－f（x）］＝f（x)．∴函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期．若函数y＝f（x)是奇函数，且f(x＋a）＝错误!，求证:2a是f（x）的周期(a≠0）．证明：∵y＝f(x）是奇函数,∴f(－x)＝－f(x），f(x＋a)＝错误!＝－错误!。
∴f（x＋2a）＝f[（x＋a)＋a]＝－错误!＝－错误!＝f(x）．∴f（x)是以2a（a≠0)为周期的周期函数．周期函数的证明一般利用周期函数的定义；对抽象函数的周期性证明，要注意利用条件，结合定义进行灵活的转化．对于函数最小正周期的证明，不仅可以用周期函数的定义，而且还可以运用反证法．二、求三角函数的周期求下列函数的周期：（1)y＝3sin错误!；(2)y＝2cos错误!；(3）y＝｜sin x|。
思路分析:利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式．解：(1)T＝错误!＝错误!＝4。
(2）y＝2cos错误!＝2cos错误!，∴T＝错误!＝4π。
(3）由y＝sin x的周期为2π,可猜想y＝｜sin x|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π）｜＝|－sin x|＝｜sin x｜,∴由周期函数的定义知y＝|sin x｜的周期是π.用定义法求下列函数的周期：(1)y＝cos 4x；(2）y＝2sin错误!；（3）y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0）．解：（1)设函数f(x)＝cos 4x的周期为T。
令4x＝μ，由f（x)＝cos μ的周期是2π，知f(μ＋2π）＝cos(μ＋2π)＝cos(4x＋2π）＝cos错误!＝f错误!＝f（μ）＝cos μ＝cos 4x＝f（x）对一切x都成立，∴T＝π2.（2)令错误!＋错误!＝μ。
由y＝2sin μ的周期是2π，知f(μ＋2π）＝2sin(μ＋2π）＝2sin错误!＝2sin错误!＝f(x＋6π)＝f(μ）＝2sin错误!＝f（x)对一切x都成立，∴T＝6π。
（3)令μ＝ωx＋φ。
由y＝tan μ的周期为π,知f（μ＋π）＝tan(μ＋π)＝tan（ωx ＋φ＋π)＝tan错误!＝f错误!＝f(μ)＝tan(ωx＋φ)＝f(x）对一切x都成立，∴T＝错误!是y＝tan（ωx＋φ）的周期．求三角函数的周期，通常有三种方法:（1）定义法．(2）公式法．对y＝A sin(ωx＋φ）或y＝A cos（ωx＋φ)（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），有T＝错误!。
(3)观察法(图象法)．三、函数周期性的应用设f(x)是(－∞，＋∞）上的奇函数，f(2＋x）＝－f(x)，当0≤x≤1时，f（x）＝x，求f(7.5)的值．思路分析：解答此类题目的关键是利用化归思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解．解：方法一(直接计算):∵f(2＋x)＝－f(x)，f(x）为奇函数，当x∈[0，1］时，f(x）＝x，∴f(7.5）＝f（5。
5＋2)＝－f(5.5)＝－f(2＋3.5）＝－[－f（3。
5)]＝f（3.5）＝f(2＋1.5）＝－f（1。
5）＝－f（2－0。
5）＝f（－0。
5)＝－f(0。
5）＝－0。
5.方法二(利用周期性）：∵f(4＋x)＝f［2＋（2＋x)］＝－f(x＋2）＝－［－f（x)]＝f（x），∴f(x＋4）＝f(x），故函数的周期为4.∴f（7.5)＝f(8－0。
5）＝f(－0。
5)＝－f(0.5)．∵0≤x≤1时，f(x）＝x，∴f(7。
5）＝－0。
5.1．今天是星期一,那么从明天算起,第7k(k∈N*）天是星期__________，第100天是星期__________．答案：一三解析：每周7天,则7k是k个周期，即第7k（k∈N*)天仍是星期一．∵100＝7×14＋2，∴第100天是星期三．2．（1）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1)＝1,f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________。
（2）设f（x）是定义在R上的以4为周期的奇函数，且f(1)＝－1，则f（2 011）＝__________。
答案:(1)－1 (2)1解析：（1）由于f(x）的周期为5,所以f（3)－f（4)＝f（－2）－f(－1）．又f(x）为R上的奇函数，∴f（－2)－f（－1）＝－f（2)＋f（1)＝－2＋1＝－1.(2)∵f（x)的周期为4，f（x）为奇函数，且f(1）＝－1，∴f(2 011）＝f(4×503－1)＝f（－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1。
如果一个函数是周期函数,要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知,只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可得到该函数在定义域内的有关性质．利用函数的周期性可以求值，可以推理判断，可以解决许多实际问题．应注意等价转化思想的应用．1．若函数y＝cos错误!(ω＞0)的最小正周期是错误!，则ω＝__________.答案:10解析:∵T＝错误!＝错误!，∴ω＝10。
2．下列函数是周期函数的是__________（填序号)．①f（x)＝x；②f(x）＝2x；③f(x)＝1。
答案：③解析:①由f(x＋T）＝x＋T≠x,T≠0，知f（x）＝x不是周期函数；②由f(x＋T)＝2x＋T＝2T·2x≠2x，T≠0，知f（x)＝2x不是周期函数；③由f(x＋T）＝1＝f（x)，知f(x)＝1是周期函数．3．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,是周期函数的有______(填序号）．答案:①②③解析：根据周期函数的定义观察图象可得．4．定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈错误!时,f（x)＝sin x，则f错误!的值为__________．答案:错误!解析：∵T＝π，∴f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!。
∵f（x）是偶函数,且当x∈错误!时，f(x）＝sin x，∴f错误!＝f错误!＝sin 错误!＝错误!。
∴f错误!＝错误!.5．求下列函数的周期：（1）y＝3sin 4x；（2）y＝－2cos错误!。
解：（1）T＝错误!＝错误!＝错误!.（2)y＝－2cos错误!＝－2cos错误!，T＝错误!＝4π。