第三章函数的概念与性质单元测试题1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，2)∪(2，＋∞)解析：选D.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.2．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选B.由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为x ∈R ，则x 2＋1≥1，所以y ≥1. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，则f (6)的值为( )A ．15B ．7C ．31D ．17解析：选C.令x2－1＝t ，则x ＝2t ＋2.将x ＝2t ＋2代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，得f (t )＝2(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.所以f (x )＝4x ＋7，所以f (6)＝4×6＋7＝31.4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数的定义域为[－2，2]．因为函数图象的对称轴为x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2＋1，所以x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18解析：选C.由题意得f (3)＝32－3－3＝3，那么1f （3）＝13，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.6．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.7．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(0,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.8．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.9．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是(C)A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为()A．0 B．1或2C．1 D．2解析：二次函数y＝x2－2ax＋a＋2的图象开口向上，且对称轴为x＝a，所以该函数在[0，a]上为减函数，因此有a＋2＝3且a2－2a2＋a＋2＝2，得a＝1.11．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1x2－x1<0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2) 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1x2－x1<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故选A.12. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，故④正确．13. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________．解析：根据已知条件，得g (－2)＝f (－2)＋9，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＝－f (2)，则3＝－f (2)＋9，解得f (2)＝6.14．设函数f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋ax 为奇函数，则实数a ＝________．解析：f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋a x ＝x ＋ax ＋a ＋1，因此有f (－x )＝－x ＋a－x＋a ＋1， 因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＋f (x )＝0， 即2a ＋2＝0，所以a ＝－1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)．16.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f－xx<0的解集为.解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f－xx<0化为fxx <0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．17．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 . 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.18．具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．解析：对于①：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，所以①满足；对于②：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ≠－f (x )，所以②不满足；对于③：当0<x <1时，1x >1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，当x ＝1时，显然满足， 当x >1时，0<1x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )，所以③满足．答案：①③19. 已知函数f (x )＝2x －a x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3.(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明． 解：(1)因为f (x )＝2x －ax ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－2a ＝3，解得a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝2x ＋1x ，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 证明如下： 设x 1＞x 2＞1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1－2x 2－1x 2＝(x 1－x 2)2x 1x 2－1x 1x 2.因为x 1＞x 2＞1，所以x 1－x 2＞0，2x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0， 所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 20.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x，x ∈（2，4].(1)在图中画出函数f (x )的大致图象； (2)写出函数f (x )的最大值和单调递减区间． 解：(1)函数f (x )的大致图象如图所示．(2)由函数f (x )的图象得出，f (x )的最大值为2，函数f (x )的单调递减区间为[2，4]． 21.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1. 当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1（x ＞0），0（x ＝0），－x 2－x ＋1（x ＜0）.(2)作出函数图象，如图所示．由函数图象易得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.22.已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0， ∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.23.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求： (1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值． 解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1 ＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2x 2－x 1x 2＋1x 1＋1，由2≤x 1<x 2≤6可得2x 2－x 1x 2＋1x 1＋1>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减．故当x＝2时，f(x)取得最大值－43；当x＝6时，f(x)取得最小值－127.24.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝x＋mx2＋nx＋1.(1)求m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)若f(x)≤a3对x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13恒成立，求a的取值范围．解：(1)因为奇函数f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.故有f(0)＝0＋m02＋n×0＋1＝0，解得m＝0.所以f(x)＝xx2＋nx＋1.由f(－1)＝－f(1)．即－1－12＋n×－1＋1＝－112＋n×1＋1，解得n＝0.所以m＝n＝0.(2)证明：由(1)知f(x)＝xx2＋1，任取－1<x1<x2<1.则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2 x22＋1＝x1x22＋1－x2x21＋1 x21＋1x22＋1＝x 1x 22－x 2x 21＋x 1－x 2x 21＋1x 22＋1＝x 1－x 21－x 1x 2x 21＋1x 22＋1. 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1，所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝310. 由题意可得a 3≥310，解得a ≥910.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫910，＋∞.。