文科数学试题 数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知全集U ＝R ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18<2x <1，M ＝{}x |y ＝ln （－x －1），则图中阴影部分表示的集合是(C)(A){}x |－3<x <－1 (B){}x |－3<x <0 (C){}x |－1≤x <0 (D){}x <－3(2)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在(B) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)设i 是虚数单位，复数a －i1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为(A)(A)1 (B)－1 (C)12(D)－2(4)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为(D)(A)y ＝±2x (B)y ＝±22x (C)y ＝±12x (D)y ＝±2x(5)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝(B)(A)2 (B)154 (C)174(D)a 2(6)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝(B) (A)－4 (B)－3 (C)－2 (D)－1(7)下列函数的最小正周期为π的是(A) (A)y ＝cos 2x (B)y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2(C)y ＝sin x (D)y ＝tan x 2(8)一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是(A)(A)π3＋2 3 (B)π3＋ 3 (C)π＋2 3 (D)2π3＋ 3【解析】该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为13×12π×12×2＋12×2×3×2＝π3＋23，故选A.(9)已知数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是(D)(A)n <6? (B)n <7? (C)n ≤8? (D)n ≤9?【解析】第一次循环：1≤m 成立，S ＝a 2，n ＝2，依次类推，第九次循环：9≤m 成立，S ＝a 10，n ＝10，第十次循环：10≤m 不成立，输出第10项，因此9 ≤m <10，选D.(10)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为(D)(A)4 (B)83 (C)113 (D)256【解析】由不等式组作出可行域如图，由a >0，b >0，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点P (4，6)时，z 取得最大值，由已知得4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以2a ＋3b ＝2a ＋3b 3a ＋2a ＋3b 2b ＝136＋b a ＋a b ≥256，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝65时取得等号，故2a ＋3b 的最小值为256. (11)如图，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是(C)(A)13 (B)23 (C)232 (D)2 2【解析】设抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ：x ＝－1，焦点为F . 直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)恒过定点P (－1，0)，由|AM |＝2|BN |知点B 为AP 的中点，连接OB ，则|F A |＝2|OB |， 又由|AM |＝2|BN |得|F A |＝2|FB |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为12，∴点B 的坐标为B ⎝⎛⎭⎫12，2， 把B ⎝⎛⎭⎫12，2代入直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，解得k ＝232. (12)已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x (b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是(C)(A)()－∞，2(B)⎝⎛⎭⎫－∞，32(C)⎝⎛⎭⎫－∞，94(D)()－∞，3 【解析】f ()x ＋xf ′()x >0⇒[]xf ()x ′>0，设g ()x ＝xf ()x ＝ln x ＋()x －b 2， 若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f ()x ＋xf ′()x >0，则函数g ()x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在子区间使得g ′()x >0成立， g ′()x ＝1x ＋2()x －b ＝2x 2－2bx ＋1x ，设h ()x ＝2x 2－2bx ＋1，则h ()2>0或h ⎝⎛⎭⎫12>0，即8－4b ＋1>0或12－b ＋1>0，得b <94，故选C. 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是__13__．(14)给出下列不等式： 1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋…＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …则按此规律可猜想第n 个不等式为__1＋12＋13＋14＋…＋12＋－1>n ＋12__．(15)已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤mx 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是__m >3__．【解析】函数y ＝||x 为偶函数，且左减右增．函数y ＝x 2－2mx ＋4m ()x >m 的对称轴为x ＝m ，且向右单调递增．故当x ≤m 时函数f ()x 先减后增，当x >m 时函数f ()x 单调递增，要f ()x ＝b 有三个不同的零点，则必须满足m >m 2－2m 2＋4m ，解得m >3.(16)某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB 的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝40米，并在点C 处的正上方E 处观测顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1米，则烟囱高AB ＝米．【解析】∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝45°，在△CBD 中，根据正弦定理得BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD＝206，∴AB ＝1＋tan 30°·BC ＝1＋202(米)，故答案为：202＋1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本题满分12分)在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知(2a －c )cos B ＝b cos C . (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋B 2＋2cos 2ωx2(其中ω＞0为常数)，若x ＝π12是f (x )的一个极值点，求ω的最小值．【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，(1分) 所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．(3分)因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以2cos B ＝1，即cos B ＝12.(5分)因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(6分) (Ⅱ)由题设，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋2cos 2ωx 2＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1＋cos ωx＝32sin ωx ＋32cos ωx ＋1＝3sin ⎝⎛⎫ωx ＋π3＋1.(10分) 因为x ＝π12是f (x )的一个极值点，ω＞0，则ωπ12＋π3＝k π＋π2，即ω＝12k ＋2(k ∈N )．故ω的最小值为2.(12分)(18)(本题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＋a 22＋…＋a nn ＝2n －1(n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝2n 2－na n，数列{b n }的前n 项和为S n .若对一切n ∈N *，都有S n ＜M 成立(M 为正整数)，求M 的最小值．【解析】(Ⅰ)因为a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n －1，则a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝2n －1－1(n ≥2)．(2分)两式相减，得a n n ＝2n －1，即a n ＝n ·2n －1(n ≥2)．(3分)由已知，a 1＝2－1＝1满足上式．(4分) 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ·2n －1.(5分)(Ⅱ)由题设，b n ＝n （2n －1）n ·2n －1＝2n －12n －1.(6分) 则S n ＝11＋32＋522＋…＋2n －12n －1，12S n ＝12＋322＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .(8分)两式相减，得12S n ＝1＋1＋12＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . (10分)所以S n ＝6－2n ＋32n －1.(11分)显然，S n <6，又S 5＝6－1316>5，所以M ≥6，故M 的最小值为6.(12分)(19)(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝π3，△ADP 为等边三角形．(Ⅰ)求证：AD ⊥PB ；(Ⅱ)若AB ＝2，BP ＝6，求点D 到平面PBC 的距离．【解析】(Ⅰ)取AD 的中点O ，连接PO ，OB ，证明AD ⊥平面PBO ，从而得证． (Ⅱ)∵AD //BC ，∴PB ⊥BC .利用等体积变换，得V D －PBC ＝V P －DBC ，从而求出D 到平面PBC 的距离． (Ⅰ)取AD 的中点O ，连接OP ，OB .∵△ADP 为等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵AB ＝AD ，∠DAB ＝π3，∴△ADB 为等边三角形，∴BO ⊥AD . 又PO ∩OB ＝O ，∴AD ⊥平面PBO . 又PB ⊂平面PBO ，∴AD ⊥PB .(6分)(Ⅱ)由条件知△ABD 与△P AD 都是边长为2的等边三角形，∴OB ＝OP ＝ 3. 又PB ＝6，则PB 2＝OB 2＋OP 2，∴OP ⊥OB . 又OB ∩AD ＝O ，∴PO ⊥平面ABD ，∵V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △BDC ·OP ＝13×12×2×3×3＝1，又AD ∥BC ，∴PB ⊥BC ，∴S △PBC ＝12×6×2＝6，设点D 到平面PBC 的距离为h ，由13S △PBC ·h ＝1，解得h ＝62.(12分)(20)(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交于两点P 1，P 2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)由题意得c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，又点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，∴1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(5分)(Ⅱ)存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2＋y 2＝5.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋m . 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1得()4k 2＋1x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， ∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴Δ1＝()8km 2－4()4k 2＋1()4m 2－4＝0，即m 2＝4k 2＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋y 2＝r2得()k 2＋1x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0，则Δ2＝()2km 2－4()k 2＋1()m 2－r 2>0.设P 1()x 1，y 1，P 2()x 2，y 2，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋1，x 1x 2＝m 2－r 2k 2＋1，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝()kx 1＋m ()kx 2＋m x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km ()x 1＋x 2＋m2x 1x 2＝k 2·m 2－r 2k 2＋1＋km ·－2km k 2＋1＋m 2m 2－r 2k 2＋1＝m 2－r 2k 2m 2－r 2，将m 2＝4k 2＋1代入上式，得k 1k 2＝()4－r 2k 2＋14k 2＋()1－r 2.要使得k 1k 2为定值，则4－r 24＝11－r 2，即r 2＝5，代入Δ2验证知符合题意． ∴当圆的方程为x 2＋y 2＝5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值－14.当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x ＝±2. 此时，圆x 2＋y 2＝5与l 的交点P 1，P 2也满足k 1k 2＝－14.综上，当圆的方程为x 2＋y 2＝5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值－14.(12分)(21)(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R . (Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若函数f (x )的两个零点为x 1，x 2且x 2x 1≥e 2，求证：(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)>65.【解析】(Ⅰ)函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R 的定义域为{}x |x >0，则f ′(x )＝1x＋a .当a ≥0时，f ′(x )>0，∴f (x )在()0，＋∞上单调递增；当a <0时，由f ′(x )＝1x ＋a >0，得0<x <－1a，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增；(3分) 由f ′(x )＝1x ＋a <0，得x >－1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减．(5分) (Ⅱ)由题意，得ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋ax 2＝0， ∴ln x 2－ln x 1＝a (x 1－x 2)．∴(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1x 1＋x 2＋a ＝x 1－x 2x 1＋x 2＋a (x 1－x 2) ＝x 1－x 2x 1＋x 2＋ln x 2x 1＝1－x 2x 11＋x 2x 1＋ln x 2x 1.令x 2x 1＝t ≥e 2，令φ(t )＝1－t 1＋t ＋ln t ，则φ′(t )＝t 2＋1t （1＋t ）2>0 ∴φ(t )在[)e 2，＋∞上单调递增，∴φ(t )≥φ(e 2)＝1＋2e 2＋1>1＋232＋1＝65， 即(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)>65.(12分)请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径．过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F .(Ⅰ)求证：AC ·BC ＝AD ·AE(Ⅱ)若AF ＝2，CF ＝22，求AE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：连接BE ，由题意知△ABE 为直角三角形． ∵∠ABE ＝∠ADC ＝90°，∠AEB ＝∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC ∴AB AD ＝AEAC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又AB ＝BC ，∴AC ·BC ＝AD ·AE .(5分) (Ⅱ)∵FC 是⊙O 的切线，∴FC 2＝F A ·FB ，又AF ＝2，CF ＝22，∴BF ＝4，BC ＝AB ＝BF －AF ＝2， ∵∠ACF ＝∠FBC ，又∠CFB ＝∠AFC ，∴△AFC ∽△CFB . ∴AF FC ＝AC BC ，AC ＝AF ·BC CF＝ 2.∴cos ∠ACD ＝24，sin ∠ACD ＝144＝sin ∠AEB . ∴AE ＝AB sin ∠AEB＝4147.(10分)(23)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2cos 2x ，直线l 的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋cos θ. (Ⅰ)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 【解析】(Ⅰ)C 1＝3x 2＋y 2＝3，l ：x ＋y ＝4.(4分)(Ⅱ)法1：设Q (cos θ，3sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|cos θ＋3sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ－42＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－42≥22＝2 当且仅当θ＋π6＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为 2.(10分)法2：设Q (x ，y )，直线l ：x ＋y ＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c ，则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离．(24)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥11x，0<x <1，g (x )＝af (x )－|x －2|，a ∈R .(Ⅰ)当a ＝0时，若g (x )≤|x －1|＋b 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数b 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝1时，求函数y ＝g (x )的最小值．【解析】(Ⅰ)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤|x －1|＋b ⇔－b ≤|x －1|＋|x －2|(2分)|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时等号成立(4分) 实数b 的取值范围是[－1，＋∞)．(5分)(Ⅱ)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x＋x －2，0<x <12x －2，1≤x ≤22，x >2，(7分)当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x－2＝0；(8分) 当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；(9分) 故当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最小值0.(10分)。