高考文科数学模拟试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足(2﹣i)2•z=1,则z的虚部为()A.B.C.D.2.已知集合A={x|x2=a},B={﹣1,0,1},则a=1是A⊆B的()A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设单位向量的夹角为120°,,则|=()A.3 B. C.7 D.4.已知等差数列{a n}满足a6+a10=20,则下列选项错误的是()A.S15=150 B.a8=10 C.a16=20 D.a4+a12=205.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.4﹣πD.6.双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为()A. B.C. D.7.周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=,则f(2014)+f(2015)=()A.0 B.1 C.2 D.38.已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.2 B. C.4 D.9.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若c2=(a﹣b)2+6,△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.10.设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)=,则下列结论正确的是()A.xf(x)在(0,+∞)单调递增B.xf(x)在(1,+∞)单调递减C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值 D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.右面的程序框图输出的S的值为.12.在区间[﹣2,4]上随机取一个点x,若x满足x2≤m的概率为,则m= .13.若点(a,9)在函数的图象上,则a= .14.已知x>0,y>0且2x+y=2,则的最小值为.15.函数f(x)=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知向量(ω>0),函数f (x)=,若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g(x)的图象,当时,求函数g(x)的值域.类别A B C数量400600a(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)用分层抽样的方法在A,B类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A类轿车的概率;(Ⅲ)用随机抽样的方法从A,B两类轿车中各抽取4辆,进行综合指标评分,经检测它们的得分如图,比较哪类轿车综合评分比较稳定.18.已知 {a n}是各项都为正数的数列,其前 n项和为 S n,且S n为a n与的等差中项.(Ⅰ)求证:数列{S n2}为等差数列;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅲ)设b n=,求{b n}的前100项和.19.如图:是直径为的半圆,O为圆心,C是上一点,且.DF⊥CD,且DF=2,,E为FD的中点,Q为BE的中点,R为FC上一点,且FR=3RC.(Ⅰ)求证:面BCE⊥面CDF;(Ⅱ)求证:QR∥平面BCD;(Ⅲ)求三棱锥F﹣BCE的体积.20.已知函数f(x)=+ax,x>1.(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值;(Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.21.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C上两点,已知,且.(ⅰ)求的取值范围;(ⅱ)判断△OAB的面积是否为定值?若是,求出该定值,不是请说明理由.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足(2﹣i)2•z=1,则z的虚部为()A.B.C.D.考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.解答:解:∵(2﹣i)2=3﹣4i,∴==,∴z的虚部为,故选:D.点评:本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.2.已知集合A={x|x2=a},B={﹣1,0,1},则a=1是A⊆B的()A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:当a=1时,集合A={1,﹣1},满足A⊆B.反之不成立:例如a=0,A={0}⊆B.解答:解:当a=1时,集合A满足:x2=1,解得x=±1,∴集合A={1,﹣1},∴A⊆B.[来源:Z+xx+]反之不成立:例如a=0,A={0}⊆B.因此a=1是A⊆B的充分不必要条件.故选:A.点评:本题考查了集合的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.设单位向量的夹角为120°,,则|=()A.3 B. C.7 D.考点:数量积表示两个向量的夹角.专题:平面向量及应用.分析:把已知数据代入向量的模长公式计算可得.解答:解:∵单位向量的夹角为120°,,∴|=====故选:D点评:本题考查向量的夹角和模长公式,属基础题.4.已知等差数列{a n}满足a6+a10=20,则下列选项错误的是()A.S15=150 B.a8=10 C.a16=20 D.a4+a12=20考点:等差数列的性质.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:利用等差数列的通项的性质,可得结论.解答:解:S15=(a1+a15)=(a6+a10)=150,即A正确;a6+a10=2a8=20,∴a8=10,即B正确;a6+a10≠a16,即C错误a4+a12=a6+a10=20,即D正确.故选:C.点评:本题考查等差数列的通项的性质,考查学生的计算能力,正确运用等差数列的通项的性质是关键.[来源:]5.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.4﹣πD.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:根据三视图得出三视图可判断该几何体是底面为边长位的正方形,高为1的长方体,长方体内挖掉一个圆锥,运用体积公式求解即可.解答:解:∵三视图可判断该几何体是底面为边长位的正方形,高为1的长方体,长方体内挖掉一个圆锥,∴该几何体的体积为22×1π×12×1=4﹣,故选:A[来源:Z*xx*]点评:本题考查了空间几何体的三视图的运用,关键是你恢复几何体的直观图,计算体积,属于中档题.6.双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为()A. B.C. D.考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:求出双曲线的一条渐近线方程,一个顶点坐标,然后求解所求即可.解答:解:双曲线=1的顶点(),渐近线方程为:y=,双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为:=.故选:B.点评:本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离个数的应用,考查计算能力.7.周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=,则f(2014)+f(2015)=()A.0 B.1 C.2 D.3考点:函数的值.专题:函数的性质及应用.分析:利用函数的周期性,以及函数的奇偶性,直接求解即可.解答:解:函数是周期为4的奇函数,f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=,所以f(2014)+f(2015)=f(2012+2)+f(2016﹣1)=f(2)+f(﹣1)=f(2)﹣f(1)=log22+1﹣12=1.故选:B.点评:本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性,函数值的求法,考查计算能力.8.已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.2 B. C.4 D.考点:基本不等式.专题:不等式的解法及应用.分析:根据约束条件画图,判断当直线与圆相切时,取最大值,运用直线与圆的位置关系,注意圆心,半径的运用得出≤2.解答:解:∵x,y满足约束条件,∴根据阴影部分可得出当直线与圆相切时,取最大值,y=﹣2x+k,≤2,即k所以最大值为2,故选:D点评:本题考查了运用线性规划问题,数形结合的思想求解二元式子的最值问题,关键是确定目标函数,画图.9.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若c2=(a﹣b)2+6,△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.考点:余弦定理.专题:解三角形.[来源:学科网]分析:由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程,再由面积公式可得ab和sinC的方程,由同角三角函数基本关系可解cosC,可得角C解答:解:由题意可得c2=(a﹣b)2+6=a2+b2﹣2ab+6,由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC,两式联立可得ab(1﹣cosC)=3,再由面积公式可得S=absinC=,∴ab=,代入ab(1﹣cosC)=3可得sin C=(1﹣cosC),再由sin2C+cos2C=1可得3(1﹣cosC)2+cos2C=1,解得cosC=,或cosC=1(舍去),∵C∈(0,π),∴C=,故选:A.点评:本题考查余弦定理,涉及三角形的面积公式和三角函数的运算,属中档题.[来源:Z*xx*]10.设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)=,则下列结论正确的是()A.xf(x)在(0,+∞)单调递增B.xf(x)在(1,+∞)单调递减C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值 D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值考点:利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.专题:导数的综合应用.分析:根据条件,构造函数g(x)=xf(x),利用导数研究函数的单调性和极值,即可得到结论.解答:解:由x2f′(x)+xf(x)=lnx得x>0,则xf′(x)+f(x)=,即[xf(x)]′=,设g(x)=xf(x),即g′(x)=>0得x>1,由g′(x)<0得0<x<1,即当x=1时,函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=,故选:D点评:本题主要考查函数的导数的应用,根据条件构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.右面的程序框图输出的S的值为.考点:程序框图.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当n=5时不满足条件n≤4,退出循环,输出S的值为:.解答:解:模拟执行程序框图,可得n=1,S=0满足条件n≤4,S=1,n=2满足条件n≤4,S=,n=3满足条件n≤4,S=,n=4满足条件n≤4,S=,n=5不满足条件n≤4,退出循环,输出S的值为:.故答案为:;点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的S,n的值是解题的关键,属于基础题.12.在区间[﹣2,4]上随机取一个点x,若x满足x2≤m的概率为,则m= .考点:几何概型.专题:概率与统计.分析:利用几何概型分别求出区间长度,利用长度比求概率.解答:解:区间[﹣2,4]的长度为6,x满足x2≤m的x范围为[﹣,],区间长度为2,由几何概型公式可得,解得m=;故答案为:.点评:本题考查了几何概型的运用;解得本题的关键是求满足x2≤m的区间长度,利用几何概型公式解答.13.若点(a,9)在函数的图象上,则a= 4 .考点:对数的运算性质.专题:函数的性质及应用.分析:利用指数与对数的运算法则即可得出.解答:解:∵点(a,9)在函数的图象上,∴,∴,解得a=4.∴a===4.故答案为:4.点评:本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题.[来源:Z&xx&] 14.已知x>0,y>0且2x+y=2,则的最小值为8 .考点:基本不等式.专题:不等式的解法及应用.分析:由已知的等式求出的最小值,进一步利用基本不等式求得的最小值.解答:解:∵x>0,y>0且2x+y=2,∴,得,(当且仅当2x=y时取“=”),∴(当且仅当2x=y时取“=”),故答案为:8.点评:本题考查了利用基本不等式求最值,关键是注意不等式中等号成立的条件,是基础题.15.函数f(x)=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为 2 .考点:根的存在性及根的个数判断.专题:函数的性质及应用.分析:构造函数设g(x)=|x2﹣2x+|,k(x)=x﹣1,画出图象,运用图象的交点得出有关函数的零点个数.解答:解:设g(x)=|x2﹣2x+|,k(x)=x﹣1,根据图象得出g(x)与k(x)有2个交点,∴f(x)=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为2故答案为:2;点评:本题考查了函数交点问题与函数的零点的问题的关系,数学结合的思想的运用,属于中档题,关键是构造函数,画出图象.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知向量(ω>0),函数f (x)=,若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g(x)的图象,当时,求函数g(x)的值域.[来源:Z。