2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共三套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)17、（本小题满分12分）已知函数2()23sin 2sin cos 3f x x x x =+-，π11π[]324x ∈，．（1）求函数()f x 的值域；（2）已知锐角ABC △的两边长分别为函数()f x 的最大值与最小值， 且ABC △的外接圆半径为324，求ABC △的面积．18、（本小题满分12分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）： 女性消费情况： 消费金额 （0，200） [200，400） [400，600) [600，800) [800，1000) 人数5101547x男性消费情况：消费金额 （0，200） [200，400）[400，600) [600，800) [800，1000) 人数2 3 10 y 2 （1）现从抽取的100名且消费金额在[800，1000](单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”女性男性总计网购达人非网购达人总计附：（22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20()P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87919、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （1）求证:SB ∥平面ACM ； （2）求点C 到平面AMN 的距离．20、（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，．（1）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 过点()02A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数 的单调区间和极值；（2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（ ）请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线:52x t l y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()05A ，，直线l 与曲线C 相交于点M N 、，求11AM AN+的值．23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|31|3f x x ax =-++． （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围．参考答案1. B2. A3. A4. C5. B6.A7. C8. C 9. B 10. D 11. A 12. D13. 14. 7 15. 16. 217.（1）2π()23sin 2sin cos 32sin(2)3f x x x x x =+-=- 又π11π324x ≤≤，∴ππ7π23312x -≤≤，∴3πsin(2)123x -≤≤，∴函数()f x 的值域为[32]，． （2）依题意不妨设32a b ABC ==，，△的外接圆半径324r =， 3632221sin cos sin cos 233233323222a b A A B B r r ========，，，， 6sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=， ∴116sin 232223ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△． 18. （1）按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名． ∴80(5101547)3x =-+++=，20(23102)3y ==+++=抽取的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A ，B ，C ； 两位男性设为a ，b ．从5名任意选2名，总的基本事件有(,)A B ，(,)A C ，(,)A a ，(,)A b (,)B C ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)a b ，共10个．设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件A ”．则事件包含的基本事件有(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b 共6个． ∴63(A)105P ==． （2）22⨯列联表如下表：女性 男性 总计 网购达人 50 5 55 非网购达人 30 15 45 总计8020100则222()100(5015305)9.091 6.635()()()()80205545n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，且2( 6.635)0.010P k =≥．所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别无关”．19. （1）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．∵ABCD 是正方形，∴E 是BD 的中点．∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB △的中位线．∴ME SB ∥． 又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB ∥平面ACM ． （2）由条件有DC SA DC DA ⊥⊥，，∴DC ⊥平面SAD ，∴AM DC ⊥．又∵SA AD M =，是SD 的中点，∴AM SD ⊥．∴AM ⊥平面SDC ．∴SC AM ⊥．由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面AMN ．于是CN ⊥面AMN ，则CN 为点C 到平面AMN 的距离， 在Rt SAC △中，2222223SA AC SC SA AC ===+=，，， 于是2433AC CN SC CN =⋅⇒=，∴点C 到平面AMN 的距离为433． 20.（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴2b a c =+，22242b a ac c =++，()222242a c a ac c -=++， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a -得，25230e e +-=，解得35c e a ==． （2）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c=-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=， ∴()22222422c c a cx a c c +==++．∴()2242c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，． 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦，∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =，∴25a =．故所求椭圆的方程为22154x y +=． 21. （1） 因为， 所以，当时，．令，得 ， ，所以 ， 随 的变化情况如下表：极大值极小值所以 在 处取得极大值，极大值为， 在 处取得极小值，极小值为． 函数 的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ．（2） “不等式 在区间 上无解”等价于“ 在区间 上恒成立”，即函数 在区间 上的最大值小于或等于 ．由（1）可得，令 ，得， ．因为 ，所以．当时， 对 成立，则函数 在区间 上单调递减，所以函数 在区间 上的最大值为 ，所以不等式 在区间 上无解；当时， ， 随 的变化情况如下表：极小值所以函数 在区间 上的最大值为 或 ． ，．因为，所以 ．综上，当 时，关于 的不等式 在区间 上无解． 22. （1）2222cos sin 40ρθρθ-+=2222404x y y x ⇒-+=⇒-=；（2）将直线l 的参数方程化为标准形式：15255x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩，（t 为参数），代入曲线C 的方程得234105t t ++=，则12121211114t t AM AN t t t t ++=+==．23. （1）1a =时，()|31|34f x x x =-++≤，即|31|1x x --≤，1311x x x ---≤≤，解得102x ≤≤，所以解集为1[0]2，．（2）因为1(3)23()1(3)43a x x f x a x x ⎧++⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，≥，，所以()f x 有最小值的充要条件为3030a a +⎧⎨-⎩≥≤，即33a -≤≤．2020年高考文科数学模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x ＞2}，B={x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（ ） A ．{x |x ＞1} B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ＞2或x ＜1}2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．4．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，则a 2+a 4+a 9=（ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．365．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ ） A ．80mB ．100mC ．40mD ．50m6．（5分）若x=，则sin 4x ﹣cos 4x 的值为（ ） A ． B ．﹣C ．﹣D ．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．10 B．5 C．20 D．308．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥119．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx ﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1}11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是．14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2， y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是．16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n=3a n，n∈N+．+1（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积．19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5；不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【解答】解：集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：B．2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：z==，在复平面内，复数z=对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=3+2=5， ==， ==．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴===，∴与的夹角为，故选：B．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=54，则a2+a4+a9=（）A．9 B．15 C．18 D．36【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9=（a1+a9）=54，又由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，即9a5=54，解得a5=6，而a2+a4+a9=a5+a4+a6=3a5=18．故选：C．5．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A．80m B．100m C．40m D．50m【解答】解：由已知易得：l从甲地到乙=500l途中涉水=x，故物品遗落在河里的概率P==1﹣=∴x=100（m）．故选B．6．（5分）若x=，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵x=，∴sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x=﹣cos=﹣，故选：C．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．5 C．20 D．30【解答】解：由空间几何体的三视图得：该几何体是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，ABCD是矩形，AB=4，AD=5，BC⊥底面ABS，△ABS中，AB∥BS，BS=3，∴该几何体的体积：V===20．故选：C．8．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10，∴不满足判断框的条件是k≥11，退出循环．故选：D．9．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx ﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：∵当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数，所以命题p为真命题；∵y=cos2x+4sinx﹣3=1﹣2sin2x+4sinx﹣3=﹣2sin2x+4sinx﹣2=﹣2（sinx﹣1）2，当sinx=1时y=0，所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0所以命题q为假命题；￢q为真命题；所以p∨￢q为真命题故选C10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1}【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选B；11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是﹣1．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，根据目标函数z=x﹣y，即y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过A时z最小，由得到A（0，1），所以z=x﹣y的最小值是0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1；14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是4．【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，则e=，故黄金双曲线的离心率e=，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.=3a n，n∈N+．17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．=3a n，得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+1又a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则，；（Ⅱ）∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，∴b3﹣b1=10=2d，则d=5．故．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积．【解答】（1）证明：∵PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC ， ∴PA ⊥BE ．又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点， ∴BE ⊥CA ． ∵PA ∩CA=A ， ∴BE ⊥平面PAC ． ∵BE ⊂平面PBE ， ∴平面PBE ⊥平面PAC ；（2）解：取CD 的中点F ，连接EF ，则F 即为所求． ∵E ，F 分别为CA ，CD 的中点， ∴EF ∥AD ．又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ， ∴AD ∥平面PEF ；（3）解：在等边三角形ABC 中， ∵AB=2，E 、F 分别为AC 、DC 的中点， ∴BF=，EF=，又PA=2，由等积法可得V B ﹣PEF =V P ﹣BEF =S △BEF •PA ==．19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.004=0.030．（2）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，基本事件总数n==21，所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内包含的基本事件个数：m==10，∴所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率p=．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）由g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得a=，b=2．所求g（x）=x2﹣2x，（x∈R）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2﹣bx，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=＜0（x＞0），即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于b＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）解法二：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴，又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆方程为（2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0，联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由△=8（1﹣2k2）＞0，得，且k≠0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，又F2（1，0），∴，即，∴，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0，将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是．…（12分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t﹣4=0．t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，则=====．[选修4-5；不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）【解答】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．2020年高考文科数学模拟试卷及答案（三）一、选择题：（本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．满足M⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（）A．3 B．4 C．5 D．66．以下判断正确的个数是（）①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”．③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件．④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08．A．4 B．2 C．3 D．17．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．C．D．9．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点=λ，若•≥•，则λ的最大值是（）A．B．C．1 D．10．已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a na n=39（n∈N*），那么数列{a n}的前50项和S50的+2最小值为（）A．637 B．559 C．481+25D．492+2411．已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=（）A．B．1 C．2 D．412．已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF 为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），则角α的最小正值为．14．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为．15．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是．16．已知函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））﹣t 恰有一个零点时，实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2=ab+bc+ca．（1）证明△ABC是正三角形；（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值．18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值：人数数学优秀良好及格地理优秀 7 20 5良好 9 18 6及格 a 4 b②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求V（x）的最值．20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．21．已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）|＞；（2）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x﹣2y+2=0（x＞0）（1）以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；（2）设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，求实数m的取值范围．（2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=====﹣i，则z的虚部是﹣1．故选：A．2．满足M⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据M∩{1，2，3}={1，3}得到1，3∈M，即可得到结论．【解答】解：依题意集合M可能为{1，3}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，4，5}．故选：D3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由已知条件求出a=1，b=4，由此能求出S2．【解答】解：∵样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，∴a=22﹣2=1，b=24﹣2=4，∴S2= [（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=5，故选：C．6．以下判断正确的个数是（）①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”．③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件．④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08．A．4 B．2 C．3 D．1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关系数r的大小与相关性强弱的关系进行判断．②特称命题的否定是全称命题进行判断③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断，④根据回归方程的性质代入进行求解判断．【解答】解：①相关系数|r|值越小，变量之间的相关性越弱，故错误．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故错误．③“p∨q”为真时，“¬p”为假不一定成立，故“p∨q”为真是“¬p”为假的不充分条件，“¬p”为假时，“p”为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要条件，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则a=5﹣1.23×4=0.08，则回归直线方程是=1.23x+0.08，故正确；故选：B。