正视图侧视图俯视图玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{|20}A x x =->，集合2{|20}B x x x =-≤，则A B 等于（A ）[0,)+∞（B ）(,2]-∞（C ）[0,2)(2,)+∞（D ）∅（2）若复数i12ia +-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 （A ）2 （B ）15 （C ）12- （D ）25-（3）若2tan =α，则α2sin 1的值等于（A ）54- （B ）54 （C ）45- （D ）45（4）“33log log ab >”是“22a b >”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）下列命题中，真命题的个数有 ①21,04x R x x ∀∈-+≥； ②10,ln 2ln x x x∃>+≤； ③“a b >”是“22ac bc >”的充要条件； ④22x x y -=-是奇函数.（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（6）已知函数()12, 1.x x f x x >=≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x k =有3个不同的实根，则实数k 的取值范围为 （A ）()0,+∞ （B ）[)1,+∞ （C ）()0,2（D ）(]1,2（7）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是 （A ）624+（B ）64+（C ）224+（D ）24+（8）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为（AB或（C ）1或1-（D或 （9）若曲线()cos f x x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则b =（A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（10）已知球OA 、B 、C三点，如果2,AB AC BC ===三棱锥O -ABC 的体积为（A（BC ）1（D（11）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知35a =，1122S =，则数列{}n a 的公差d 为（A ）1-（B ）31-（C ）31（D ）1（12）设函数()f x 满足()()f x f x -=，当0x ≥时1()()4x f x =，若函数1()sin 2g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为 （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上.（13）变量x ，y 满足条件1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，求2x y -的最大值为 _______________．（14）利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系，通过查阅下表来确定“X 和Y有关系”的可信度.为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查.经过计算得2 3.855K ≈，那么就有%的根据认为用电脑时间与视（15）在直角三角形ABC 中，2C π∠=，3AC =，取点D 使2BD DA =，那么CD CA ⋅=_________. （16）已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为,M N 为抛物线上的任意一点，且满足NF MN λ=，则λ的取值范围是．681012三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第（17）（12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.（18）（12分）某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员. 三个月后，统计部门在一个小区抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（Ⅰ）已知该小区共有居民10000户，在政府进行动员前平均每月用水量是48.9610⨯吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12,14)内的家庭中选出2户作为采访对象，其中甲、乙两家在备选之列，求恰好选中他们两家作为采访对象的概率.（19）（12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 是A 1B 的中点，点N 是B 1C 的中点，连接MN ．（Ⅰ）证明：MN //平面ABC ； （Ⅱ）若AB =1，AC =AA 1=3，BC =2， 求二面角A —A 1C —B 的余弦值的大小．（20）（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为B ，离心率为12，圆222:()F x c y a -+=与x 轴交于E D 、两点. （Ⅰ）求BD BE的值；（Ⅱ）若1c =，过点B 与圆F 相切的直线l 与C 的另一交点为A ，求ABD △的面积. （21）（12分）设()ln f x x ax =+（a R ∈且0a ≠）．动员后 C11（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，证明：[1,2]x ∈时，1()3f x x-<成立． 选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线2C 的极坐标方程为6sin 8cos 0ρθθ+-=（0ρ≥）． （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l ： 232x ty t λ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)过曲线1C 与y 轴负半轴的交点，求与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程. （23）选修4-5：不等式选讲 已知()|2|f x x =-（Ⅰ）解不等式：()30x f x +>；（Ⅱ）对任意()3,3x ∈-，不等式()f x m x <-成立，求实数m 的取值范围.玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷参考答案（文科）一、选择题1、A2、A3、D4、A5、C6、D7、A8、D9、B 10、D11、A 12、B二、填空题：13．1214、9515、6 16、]1,22[三．解答题：（17）（12分）解：sin sin c aC A==从而sin A A =，tan A = ∵0A π<<，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：0,0b c >>，6b c a +>= 由余弦定理得：222362cos ()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立）∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>， ∴612b c <+≤， 从而b c +的取值范围是(6,12].．．．．．．．．．．．．．．．．．12分法二：由正弦定理得：6sin sin sin 3b c B C π===.∴b B =，c C =，2sin )sin sin()3b c B C B B π⎤+=+=+-⎥⎦31sin 12cos 22B B B B ⎫⎫==+⎪⎪⎪⎪⎭⎭12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵5666B πππ<+<∴612sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即612b c <+≤（当且仅当3B π=时，等号成立）从而b c +的取值范围是(6,12].．．．．．．．．．．．．．．．．．12分（18）（12分）解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为(10.01530.03050.10570.20090.120110.030)2 6.88⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水4448.9610 6.8810 2.0810⨯-⨯=⨯（吨）……………………………………………6分（Ⅱ）C1由（Ⅰ）可知动员前月均用水量在[12,14)内的家庭有6户，设为：甲、乙、a 、b 、c 、d ，从中任选2户，共包含15个基本事件： （甲，乙）、（甲，a ）、（甲，b ）、（甲，c ）、（甲，d ）、（乙，a ）、（乙，b ）、（乙，c ）、（乙，d ）、（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，d ）、（b ，c ）、（b ，d ）、（c ，d ） 甲、乙两家恰好被选中是其中一个基本事件：（甲，乙），因此所求概率为115P =…………………………………………12分（19）（12分）（Ⅰ）证明：连接AB 1，∵四边形A 1ABB 1是矩形，点M 是A 1B 的中点，∴点M 是AB 1的中点； ∵点N 是B 1C 的中点，∴MN //AC ， ∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴MN //平面ABC ．…………………6分（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作1AD A C ⊥，交1AC 于点D ，由条件可知D 是1AC 中点，连接BD ，∵AB =1，AC =AA 1=3，BC =2， ∴AB 2＋AC 2= BC 2，∴AB ⊥AC ，∵AA 1⊥AB ，AA 1∩AC =A ，∴AB ⊥平面11ACC A ∴AB ⊥A 1C , ∴A 1C ⊥平面ABD ，∴1BD AC ⊥ ∴ADB ∠为二面角A—A 1C —B的平面角， 在111AA AC Rt AAC AD A C ⋅∆===中， 12BC BA == ， 16AC =， 在等腰1CBA ∆中，D 为1AC 中点，BD =ABD ∆中，90BAD ∠=︒， ABD Rt ∆中，tan AB ADB AD ∠==A —1AC —B 的余弦值是515…12分 （方法二） 三棱柱111ABC A BC -为直三棱柱，∴11AB AA AC AA ⊥⊥，，1AB = ，AC =，2BC =，C1∴222AB AC BC+=，∴AB AC⊥如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(0,1,0), C(3,0,0), A1(0,0,3)，如图，可取)0,1,0(==ABa为平面1AAC的法向量，设平面1A BC的法向量为(,,)b m l n=，则10,0,10BC b AC b BC⋅=⋅==-又，）,1AC=，则由0,BC b⋅=,01=⋅bCA,lln m⎧-+=⎪∴∴==-=，不妨取m=1，则b=，求得cos,a b<>=，1A A C BD∴--二面角12分（20）（12分）解：(,0)E c a-，(,0)D c a+得2a c=，b=,则(0,B(3,0)D c得BD=，2BE c=,则BDBE=（4分）（Ⅱ）当1c=时，22:143x yC+=，22:(1)4F x y-+=，得B在圆F上，直线l BF⊥，则设:l y x=+由22143x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得24(,13A-，AB=又点(3,0)D到直线l的距离30332d-+==，得ABD ∆的面积12S AB d =⋅132==（12分）(21)（12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+， 当0a >时，()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，1()ax f x x +'=，由()0f x '>得10x a <<-；由()0f x '<得，1x a >-， ∴函数()f x 在1(0,)a -上是增函数；在1(,)a-+∞上是减函数．……………4分（Ⅱ）当1a =时，()ln f x x x =+， 要证[1,2]x ∈时1()3f x x-<成立，由于0x >，∴只需证2ln 310x x x x +--<在[1,2]x ∈时恒成立， 令2()ln 31g x x x x x =+--，则()ln 22g x x x '=+-，(1)0g '= 设()ln 22h x x x =+-，1()20h x x'=+>，[1,2]x ∈ ∴()h x 在[1,2]上单调递增，∴(1)()(2)g g x g '''≤≤，即0()ln 22g x '≤≤+ ∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴()(2)2ln 230g x g ≤=-<∴当[1,2]x ∈时，2ln 310x x x x +--<恒成立，即原命题得证．……………12分（22）（10分）解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：221169x y +=； …………… 2分由6sin 8cos 0ρθθ+-=得26sin 8cos 0ρρθρθ+-=，∴曲线2C 的直角坐标方程为：22860x y x y +-+= ……………… 4分 (或：曲线2C 的直角坐标方程为：2(4)(3)25x y -++= )（Ⅱ）曲线1C ：221169x y +=与y 轴负半轴的交点坐标为(0,3)-， 又直线l 的参数方程为：232x t y t λ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴02332tt λ=+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，得34λ=，即直线l 的参数方程为：23324x t y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得直线l 的普通方程为：34120x y --=， …………… 6分 设与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程为：340x y k -+= ………… 7分 ∵曲线2C 是圆心为(4,3)-，半径为5的圆，得121255k++=，解得1k =或49k =- ……………… 9分故所求切线方程为：3410x y -+=或34490x y --= …………… 10分 (23) 解：（Ⅰ）不等式为|2|30x x -+>当2x ≥时，不等式为2230x x -+>，即2(1)20x -+>，此不等式恒成立，故2x ≥， …………… 2分当2x <时，不等式为2230x x -++>，得13x -<<，故12x -<<， ∴原不等式的解集为：{1}x x >- …………… 4分 （Ⅱ）不等式()f x m x <-为|2|x x m-+<,由于2y x x =-+(2)(0)(2)(02)(2)(2)x x x x xx x x x ---≤⎧⎪=--+<≤⎨⎪-+>⎩ 22(0)2(02)22(2)x x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…… 7分作出函数|2|y x x =-+的图象如右， 当33x -<<时，228x x ≤-+<，所以对任意()3,3x ∈-，不等式()f x m x <-成立，则8m ≥. …………… 10分。