玉溪一中2014－2015学年下学期期末考试高一数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知直线l , m ，平面βα，，下列命题正确的是（ ）A ．l //β, l ⊂α⇒α//βB ．l //β, m //β, l ⊂α,m ⊂α⇒α//βC ．l //m , l ⊂α, m ⊂β⇒α//βD ．l //β, m //β, l ⊂α, m ⊂α,l ⋂m =M ⇒α//β2、在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2=4，a 2+a 3=8，则a 7等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．193、如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．－a 1＜－b1B ．ab ＜b 2C ．－ab ＜－a 2D ．|a |＜|b |4、已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．k ≥2或k ≤43B ．43≤k ≤2 C ．k ≥43 D ．k ≤25、若变量x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则z =3x +2y 的最小值为（ ）A ．4B ．523 C ．6 D ．531 6、过点P(1, 3)，且与x 轴，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ）A ．3x +y －6=0B ．x +3y －10=0C ．3x －y =0D ．x －3y +8=07、若某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．38、在△ABC 中，a =2bcos C ，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9、在等比数列{a n }中，若a 1+a 2+…+a n =2n－1，则a 21+a 22+…+a 2n =（ ）A ．(2n －1)2B ．31(4n－1) C ．31(2n－1) D ．4n－110、关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1, +∞)，则关于x 的不等式(ax +b )(x －3)＞0的解集是（ ）A ．(－1, 3)B ．(1, 3)C ．(－∞, 1)∪(3, +∞)D ．(－∞, －1)∪(3, +∞)11、方程(x +y －1)422-+y x =0所表示的曲线是（ ）A B C D12、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）A ．32B ．327C ．64D ．647第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13、圆x 2+y 2+2x =0关于y 轴对称的圆的一般方程是 . 14、设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a , b , c ，且cos A=53，cos B=135，b =3，则c = .15、如图所示，正三棱锥S －ABC 中，侧棱与底面边长相等，若E 、F 分别为SC 、AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于 .16、设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=－1，a n+1=S n S n+1，则S n= .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、（10分）某直线过直线l1 : x－2y+3=0与直线l2 : 2x+3y－8=0的交点，且点P(0, 4)到该直线的距离为2，求该直线的方程.18、（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°.（1）求BC的长；（2）求sin 2C的值.19、（12分）如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，A1C=6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积.20、（12分）某镇计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21、（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n =32+n a n （n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和T n .22、（12分）圆C 的半径为3，圆心在直线2x +y =0上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为25.（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.玉溪一中2014—2015学年下学期期末考试高一数学答案一、选择题二、填空题 13．x 2+y 2－2x =014．514 15．45° 16．－n1 三、 解答题17．解：设l 1与l 2交点为A x －2y +3=0由 解得A （1，2） 2x +3y －8=0若此直线斜率不存在，则方程为x =1 不满足P （0，4）到该直线距离为2.若此直线斜率存在，设直线方程为y －2=k （x －1） 即k x －y +2－k=0 P （0，4）到此直线距离d=2122=+--k k解得k=0或34∴直线方程为y =2或4x －3y +2=0 18．解：（1）由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2－2AB·AC·cosA=4+9－2×2×3×21=7. 所以BC=7．（2）由正弦定理知，A sin BC sin AB =C ，所以sinC=BC AB ·sinA=760sin 2=721．因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cosC=C 2sin -1=772731=-． 因此sin2C=2sinC·cosC=2×734772721=⨯． 19．解：（1）证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B ．因为CA=CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB=AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB ． 因为OC ⋂OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ．又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA 1=3．又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 12，故OA 1⊥OC ．因为OC ⋂AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －Ａ1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ·OA 1＝3．20．解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，蔬菜的种植面积为S m 2，则ab=800． 所以S=（a －4）（b －2）=ab －4b －2a+8=808－2（a+2b ）≤808－4ab 2=648． 当且仅当a=2b ，即a=40，b=20时等号成立，则S 最大值=648．答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2．21．解：（1）由题意得当n≥2时，S n －1=31+n a n －1, ∴a n =S n －S n －1=32+n a n －31+n a n －1， ∴a n =11-+n n a n-1， ∴a 2=3a 1,a 3=24a 2，a 4=35a 3……，a n =11-+n n a n －1，以上各式相乘得a n =21）（+n n a 1=n （n+1），当n=1时，a 1=2也适合上式，∴a n =n(n+1)(n ∈N *). （2）由（1）得a n =n(n+1)，∴n a 1=11111+-=+n n n n ）（， ∴T n =++2111a a …+na 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111+⎪⎭⎫⎝⎛-3121+…+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n =1+n n. 22、解：（1）设C （x 0，y 0），则2x 0+y 0=0(y 0＜0)，又2023y -=5，得y 0=－2，x 0=1，则C （1，－2）.所以圆C 的方程为(x －1)2+(y +2)2=9，即x 2+y 2－2x +4y －4=0.（2）设这样的直线l 存在，其方程为y =x +b ，它与圆C 的交点设为A(x 1，y 1)，B(x 2,y 2)，x 2+y 2－2x +4y －4=0，则由 得2x 2+2(b+1)x +b 2+4b －4=0， y =x +b ，所以x 1+x 2=－(b+1)，x 1x 2=2442-+b b .所以y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.由OA OB得x1x2+y1y2=0，即b2+4b－4－b(b+1)+b2=0，b2+3b－4=0，解得b=1或b=－4. 容易验证b=1或b=－4，方程2x2+2(b+1)x+b2+4b－4=0有实根. 故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x+1或y=x－4.。