构成直角三角形
QK Ne 2
OK
Ne 2 sin B
OQ
Ne 2 cos
B
P
W
O
B
E
Q
K
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x coAs siA n 0x
YRZ(A)ysiA n coAs 0y
Z
z 0 0 1z
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
椭球面基本几何元素及其相互关系 (a,b,c,,e,e)
ab 1e'2 ba 1e2
ca 1e'2 ac 1e2
e'e 1e'2 ee' 1e2
e222
辅助函数 W 1e2sin2B VW1e'2
4、新坐标系P-xyz的定义
坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合；
Z
x
P
y
x轴：为法截线P1PP2在P
点处的切线方向；
y轴：与P点的法截面垂直，
z
P1 B
O
P2 Y 系
使坐标系P-xyz成右手
X
K
P-xyz中法截面方程
y0
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。
法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是
一平面曲线。
Z
2、法截线的作用 3、基本思路
P
O
P1 B
P2 Y
X
椭球面方b2
1
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
第二次转轴： P-
X’’Y’’Z’’绕Z’’轴，顺时 针旋转角A（A为P点处法截线
方位角），得坐标系P-xyz
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转换关系为
X
X
Y
RY
(90
B)Y
Z
Z
Z
X
’
”
P
Y Y’
X ’
B
Z ”
O
”
K
X co9s0 (B) 0 sin 9(0B)X 第一次转轴
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
Y 0
1
0 Y
Z sin 9(0B) 0 co9s0 (B)Z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
Z
Z ’
移轴：将原点O移至P点得 坐标系P-X'Y'Z’
P
Y ’
X ’
O
B
Y
X X XP X NcoBs X
K
YYYPY
0
移轴
Z Z ZP Z N(1e2)siB n
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P
P2’ XP
ZP
O
Y
B
P点在O-XYZ中的坐标
P1’ K
X
YXPP0PP2 NcosB ZP PP1 N(1e2)sinB
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
X
x XP
YRY(90B)RZ(A)yYP
Z
z ZP
X(xcoA sysiA n)siB nzcoB sNcoBs YxsiA nycoAs
Z(xcoA sysiA n)coB szsiB nN(1e2)siB n
5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤
Z
x
P
y
P1
X
z
BO
K
P2 Y
求P-xyz中的椭球面方程
求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
V 1e'2co2B s WV 1e2
W
大值 小值 1e2
N
b Oa E
小值 大值 1e2
S
参考椭球
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
重要结论
椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面
上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。
N
PK N a W
PQ N(1e2) QK Ne2