任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方
位角A有关。
• 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ • 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ
• 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
• 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是 两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统 称为主曲率半径。
M

a(1

e2
)(1

e2
sin
2

B)
3 2
N

a(1 e2 sin 2
1
B) 2
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin6 B m8 sin8 B
N
轴的交点就较低
• 同一点的经线切线与纬线切线
垂直，也与法线垂直，三者可
O
构成三维直角坐标系 P
• 平行圈的主法线、副法线及切 线亦可构成三维直角坐标系
S R T
M
B
法截线
N n0 n2 cos2 B n4 cos4 B n6 cos6 B n8 cos8 B
主曲率半径的计算公式系数（续）
m0 a / 1 e2
m2


3 2
e2m0
m4


5 4
e2m2
m6


7 6
e2m4
m8


9 8
e2m6

n0 n2
(X，Y，Z)
（L，Φ，ρ）
X a cosφcos L
1 e2
1 e2 cos2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系
(S，A)
(L，B)
大地主题解算
Y a cosφsin L
1 e2
1 e2 cos2φ
Z a sinφ
1 e2
1 e2 cos2φ
上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
• 子午平面坐标系与大地坐标系的关系
(L，x，y)
(L，B)
x N cos B y N (1 e2 )sin B
• 空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，x，y)
X x cos L, Y x sin L, Z y
• 空间直角坐标系与大地坐标系的关系
曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。
曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
二、子午圈（线）曲率半径
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x N cos B
• 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处:
∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣
sin B V sinu
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归 化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
uφ B
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'
R

b W2

c V2

N V

a W2
1 e2
六、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M 90 c
为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式
W 1 e2 sin2 B V 1 e2 cos2 B
椭球面上几种曲率半径
六、主曲率半径的计算公式
x=a cos u
y N(1 e2 )sin B 或：y b sin u
几何意义 : M dS dB
dS dx sin B
M dx 1 dB sin B
x a cos B a cos B
W
1 e2 sin2 B
dx dB


asin B W3
(1

e2 )
N n0 n2 sin2 B n4 sin4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数
主曲率半径的计算公式系数
m0 a(1 e2 )
m2

3 2
e2m0
m4

5 4
e2m2
m6

7 6
e2m4
m8

9 8
e2m6

n0 n2

a

1 2
L

Z [N (1 e2 ) H ]sin B
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
• 空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，u)
X=a cos u cos L
Y a cos u sin L
Z b sin u
• 空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系
M

a(1 e2 ) W3
c M V3
子午线曲率半径（另一种推导）
x N cos B y N (1 e2 )sin B
dx
d2x k
dy
dy 2
3
子午线曲率：k

(1 e2 sin2 B)2 a(1 e2 )

W3 a(1 e2 )
子午线曲率半径：M

a(1 e2 ) W3
e 2 n0

n4

3 4
e 2 n2

n6

5 6
e
2 n4

n8

7 8
e 2 n6

主曲率半径的计算公式（续）
亦可按：
M

c V3
c (1 e2 cos2
3
B) 2
则得：
1
B) 2
V
展开。
M m0 m2 cos2 B m4 cos4 B m6 cos6 B m8 cos8 B

a/ 1
2
1 e2 e2n0

n4


3 4
e2n2

n6


5 6
e2n4

n8


7 8
e2n6

结束 • 谢谢!
经线、纬线、法线的特性
• 经线与纬线互相垂直
• 除赤道、两极上的法线外，法
线不通过椭球中心
Z
• 纬度较高的点，其法线与旋转
第四章 Ⅱ椭球面上几种曲率半径
——子午圈（线）曲率半径 ——卯酉圈（线）曲率半径 ——任意法截弧的曲率半径 ——平均曲率半径
上一讲应掌握的内容
公式写在黑板上
1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴ｂ；
扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′ ？
2、旋转椭球计算中常引入以下符号： c、t、η、W、V
c a2 , t tan B, b
2 e'2 cos2 B
3、经线、纬线、法线的特性
W 1 e2 sin2 B
V 1 e2 cos2 B 1 2
4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系
• 子午面直角坐标系 (L,x,y)
• 地心纬度坐标系 （L，Φ，ρ） • 归化纬度坐标系 （L，u） • 大地极坐标系 （S，A） • 大地坐标系 （L，B）
卯酉线（圈）曲率半径推导思路
r N cosB
x r a cosB W
N a c WV
Pn N PO' r cosB cosB
卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线 介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心 位在椭球的旋转轴上。

(B )max 11.8'
一、椭球面上法截线有关概念
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面 的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。
两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径
化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
五、平均曲率半径
只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：


R


1 0
2 0
RAdA

2

2 0
N
cos2
MN AM
sin 2
dA A

2
MN a 1 e2 W2
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何 平均值。 R MN
(X，Y，Z)
(L，B)
X x cos L N cos B cos L
Y x sin L N cos B sin L

Z y N (1 e2 ) sin B

X (N H ) cos B cos L
Y


( N

H
) cos
B
sin
四、任意法截弧的曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由
微分几何的尤拉公式得：
kA

1 RA