一、知识梳理1．内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -面积公式:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 在三角形中大边对大角，反之亦然.2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四：sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- 2222cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具)形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab +-=二、方法归纳(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b cA B C ==，可求出角C ，再求b 、c .(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a bA B =，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a bA B =求B 时，可能出一解，两解或无解的情况a =b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=,1sin 3A =，则a =.3【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .【解析】 ∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b Ba sin =245sin 3︒ =23,则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BC b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCb sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或A=120°,C=15°, c =226-. 【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =23,在(0,)π上显然有两个解。

sin y x =在(0,)π上的值域为（0,1】，sin 1x =在(0,)π只有2x π=一解。

【适时导练】1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ; （2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a. 【解析】（1）由正弦定理得B b A a sin sin =.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. （2）由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1.又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°. ∴A=180°-(B+C)=60°, a =22b c -=43.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力 【解析】（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a . （Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m 【例4】（2010重庆文数） 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a =42bc .(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.【适时导练】2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.【解析】 （1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b +2得:ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-c a b +2整理得: a 2+c 2-b 2=-a c ∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π. （2）将b =13,a +c =4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2a c cosB,得b 2=(a +c )2-2a c -2a c cosB∴b 2=16-2a c ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴a c =3.∴S △ABC =21a c sinB=433. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】（2011山东文数）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b． （I ）求sin sin C A的值； （II ）若cosB =14，∆ABC 的周长为5，求b 的长。

【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。

【解析】（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b c k A B C ===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA= （II ）由sin 2sin C A =得2.c a =由余弦定得及1cos 4B =得 22222222cos 14444.b ac ac B a a a a =+-=+-⨯=所以2.b a =又5,a b c ++=从而1,a =因此b=2。

【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【解题思路】对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。

【解析】解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-=gg 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。

【适时导练】3． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 22B C+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；（2）若a 3b ＋c ＝3，求b 和c 的值．解:（1）∵ A ＋B ＋C ＝180°，∴2B C +＝90°－2A ．∴ sin 2B C+＝cos 2A ．由8sin22B C +－2cos 2A ＝7，得8cos 22A －2cos 2A ＝7．∴ 4(1＋cos A )－2(2 cos 2A －1)＝7，即(2cos A －1)2＝0．∴ cos A ＝12∵ 0°＜A ＜180°，∴ A ＝60°． （2）∵ a 3A ＝60°，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝9－3bc ． ∴ bc ＝2．又b ＋c ＝3，∴ b ＝1，c ＝2或b ＝2，c ＝1． 问题四：三角恒等变形【例7】（08重庆） 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A=60o，c=3b.求：（Ⅰ）ac 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.【解题思路】求ac 的值需要消去角和;b 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系【解析】（Ⅰ）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=＝222972131231c c c c c =⨯⨯⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛故7.a c =（Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C B B C +＝sin()sin ,sin sin sin sin B C A B C B C +=由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin 11439··.1sin sin sin 333·3cA aBC A bc c c ====故143cot cot .9B C +=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有725372)31(972cos 222222=⨯⨯-+=-+=cc c c c ac b c a B故2253sin 1cos 1.2827B B =-=-=同理可得7213137291972cos 222222-=⨯⨯-+=-+=cc c c c ab c b a C 2133sin 1cos 1.2827C C =-=-= 从而cos cos 51143cot cot 33.sin sin 399B C B C B C +=+=-=【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”， 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== 【适时导练】4.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c . 【解析】(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B+=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B +=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去） 得5,412A B ππ==(2)162sin 332ABC S ac B ac ∆+===+， 又sin sin a c A C =, 即 23=， 得22,2 3.a c == 问题五：判断三角形形状【例8】在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC ∆三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【解析】方法1：利用余弦定理将角化为边.∵bcosA ＝a cosB ∴22222222b c a a c b b a bc ac +-+-⋅=⋅∴222222b c a a c b +-=+- ∴22a b = ∴a b =故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA ＝a cosB 又b ＝2RsinB ，a ＝2RsinA ∴2RsinBcosA ＝2RsinAcosB ∴sinAcosB －cosAsinB ＝0 ∴sin （A －B ）＝0 ∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π ∴A －B ＝0，即A ＝B 故三角形是等腰三角形.【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式. 【例9】. 在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝ba ，试判断ABC ∆三角形的形状.【解析】：方法1：利用余弦定理将角化为边由已知cosA cosB ＝b a 及正弦定理得cosA cosB ＝sinBsinA ∴sin2A=sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2 ， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法2：利用正弦定理将边转化为角.∵acosA ＝bcosB ∴22222222b c a a c b a b bc ac +-+-=∴22222()()0a b a b c -+-= ∴a=b 或者2220a b c +-=故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.【适时导练】5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形【解析】2sinAcosB ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sinAcosB ＝sinC ，∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.【解析】方法一 已知等式可化为a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2［-sin （A +B ）-sin (A -B )］∴2a 2cosAsinB =2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB =sin 2BcosBsinA ∴sinAsinB (sinAcosA -sinBcosB )=0∴sin 2A =sin 2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB =2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)( a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形. 问题六：与其他知识综合【例10】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--⋅=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围. 【解题思路】向量的数量积运算法则。