2020-2021学年云南省昆明市盘龙区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，5}，B＝{2，3，5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，5}B．∅C．{1，2，3}D．{5}2．命题“∃x∈R，3x2﹣x﹣1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，3x2﹣x﹣1≥0B．∀x∈R，3x2﹣x﹣1≥0C．∃x∉R，3x2﹣x﹣1＞0D．∀x∉R，3x2﹣x﹣1＞03．已知函数f（x）＝2x，则f（f（1））＝（）A．B．1C．2D．44．下列函数中，既是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝log2x B．y＝2|x|+1C．y＝sin x D．y＝﹣x25．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（1，﹣3），则sinθ+cosθ＝（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．已知，且，则＝（）A．B．C．D．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）．若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t 的函数关系式为（）A．，t∈[0，+∞）B．，t∈[0，+∞）C．，t∈[0，+∞）D．，t∈[0，+∞）二、选择题（共4小题）.9．若a＞b＞0，则（）A．a﹣c＜b﹣c B．a2＞b2C．ac＞bc D．10．已知函数f（x）＝ax2+2x+1（a≠0），若方程f（x）＝0有两个不等的实数根x1，x2且x1＜x2（）A．当a＞0时，不等式f（x）＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}B．当a＞0时，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜x1或x＞x2}C．若不等式f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＞0D．若不等式f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x2＞011．已知函数，则（）A．f（x）最小正周期为πB．f（x）的图象可通过y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度得到C．f（x）＝1成立的充要条件是，k∈ZD．f（x）在区间上单调递减12．已知，，（）A．当a＝b时，有c＞a B．当a＝b时，有c＜aC．当b＝c时，有a＞c D．当b＝c时，有a＜c三、填空题（共4小题）.13．函数y＝log2（1﹣x）的定义域是．14．求值cos600°＝．15．为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是m2．16．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）满足：当时，f（x）＝sin x；当时，；则不等式f（1﹣2x）+f（x+1）＞0的解集是．四、解答题（共6小题）.17．计算：（1）；（2）．18．已知tanα＝﹣，且α是第二象限的角．（1）求sinα和cosα的值；（2）求的值．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）的单调性，并给出证明．20．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过A（0，2）和B（2，5）．（1）若log a x＜b，求x的取值范围；（2）若函数g（x）＝，求g（x）的值域．21．已知函数f（x）＝cos2x﹣3，g（x）＝2a cos x﹣4a．（1）求函数的最大值；（2）当时，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．22．某电商店铺为促销一件标价49元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A，除包邮外，享受每满200元（标价）减40元，但在收货之前不能退换．小明正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买．（1）请写出小明每件商品实付款均价y与购买商品A的件数x（0＜x≤12，x∈N）的函数关系式；（2）小明对该商品的实际需求为6或者7件，为了追求最大优惠，小明考虑以下两种方案：方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货；方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）．若以小明的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小明选择一个购买的最优策略．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，5}，B＝{2，3，5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，5}B．∅C．{1，2，3}D．{5}解：∵A＝{1，5}，B＝{2，3，5}，∴A∩B＝{5}．故选：D．2．命题“∃x∈R，3x2﹣x﹣1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，3x2﹣x﹣1≥0B．∀x∈R，3x2﹣x﹣1≥0C．∃x∉R，3x2﹣x﹣1＞0D．∀x∉R，3x2﹣x﹣1＞0解：根据含有一个量词的命题的否定方法，则命题“∃x∈R，3x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，3x2﹣x﹣1≥0．故选：B．3．已知函数f（x）＝2x，则f（f（1））＝（）A．B．1C．2D．4解：因为函数f（x）＝2x，所以f（f（1））＝f（2）＝22＝4．故选：D．4．下列函数中，既是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝log2x B．y＝2|x|+1C．y＝sin x D．y＝﹣x2解：A：y＝log2x为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝2|x|为偶函数，当x＞0时y＝2x+1单调递增，符合题意，C：y＝sin x为奇函数，不符合题意，D：y＝﹣x2在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，故选：B．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（1，﹣3），则sinθ+cosθ＝（）A．B．C．D．解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（1，﹣3），则sinθ＝＝﹣，cosθ＝＝，∴sinθ+cosθ＝﹣，故选：C．6．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．7．已知，且，则＝（）A．B．C．D．解：因为，且，所以cos，所以sin（）＝（sinα+cosα）＝，故选：D．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）．若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t 的函数关系式为（）A．，t∈[0，+∞）B．，t∈[0，+∞）C．，t∈[0，+∞）D．，t∈[0，+∞）解：因为，所以是以Ox为始边，OP0为终边的角，由OP在ts内转过的角为，可知以Ox为始边，以OP为终边的角为，则点P的纵坐标为，所以点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数关系是，t∈[0，+∞）．故选：A．二、选择题（共4小题）.9．若a＞b＞0，则（）A．a﹣c＜b﹣c B．a2＞b2C．ac＞bc D．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣c＞b﹣c，故A错误；对于B，∵a＞b＞0，∴a2＞b2，故B正确；对于C，∵a＞b＞0，∴当c＞0时，ac＞bc，当c≤0时，ac≤bc，故C错误；对于D，∵a＞b＞0，∴，故D正确．故选：BD．10．已知函数f（x）＝ax2+2x+1（a≠0），若方程f（x）＝0有两个不等的实数根x1，x2且x1＜x2（）A．当a＞0时，不等式f（x）＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}B．当a＞0时，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜x1或x＞x2}C．若不等式f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＞0D．若不等式f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x2＞0解：当a＞0时，根据一元二次不等式的解法可得：f（x）＜0的解集为（x1，x2），故A正确，B错误，选项CD：若不等式f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则a＜0，当a＜0时，由韦达定理可得：x＞0，x＜0，且x1＜x2，所以x1＜0，x2＞0，故C错误，D正确，故选：AD．11．已知函数，则（）A．f（x）最小正周期为πB．f（x）的图象可通过y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度得到C．f（x）＝1成立的充要条件是，k∈ZD．f（x）在区间上单调递减解：对于函数，它的最小正周期为＝π，故A正确；把y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度得到y＝sin（2x+）的图象，故B 不正确；f（x）＝1成立的充要条件是2x+＝2kπ+，即，k∈Z，故C正确；当x∈，2x+∈[，]，故f（x）在区间上单调递减，故D正确，故选：ACD．12．已知，，（）A．当a＝b时，有c＞a B．当a＝b时，有c＜aC．当b＝c时，有a＞c D．当b＝c时，有a＜c解：当a＝b时，x＝，此时＝＝1，a＝，所以当a＝b时，有c＞a；作出，，的图象如下图：当b＝c时，即两图象在交点A处相等，设交点横坐标为t，此时，所以a＞c．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y＝log2（1﹣x）的定义域是（﹣∞，1）．解：由题意得：1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数的定义域是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．14．求值cos600°＝﹣．解：cos600°＝cos240°＝﹣cos60°＝﹣．故答案为：﹣．15．为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是m2．解：设直角三角形的两个直角边长分别为a，b，则由已知可得a2+b2＝132＝169，所以169≥2ab，解得ab，当且仅当a＝b时，ab取得最大值为，又空地的面积为S＝，所以空地的面积的最大值为，故答案为：．16．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）满足：当时，f（x）＝sin x；当时，；则不等式f（1﹣2x）+f（x+1）＞0的解集是{x|x＜2}．解：因为定义域为R的奇函数y＝f（x），当时，，设x＜﹣，则﹣x＞，f（﹣x）＝﹣f（x）＝log（﹣x），所以f（x）＝﹣log（﹣x），因为f（x）在x＞0时单调递增，根据奇函数的对称性可知f（x）在R上单调递增，由f（1﹣2x）+f（x+1）＞0得f（1﹣2x）＞﹣f（x+1）＝f（﹣x﹣1），所以1﹣2x＞﹣x﹣1，解得，x＜2．故答案为{x|x＜2}．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：（1）；（2）．解：（1）＝4+1﹣+＝4．（2）＝（lg5+lg2）﹣log24+3＝1﹣2+3＝2．18．已知tanα＝﹣，且α是第二象限的角．（1）求sinα和cosα的值；（2）求的值．解：（1）因为tanα＝＝﹣，所以sinα＝﹣cosα，又sin2α+cos2α＝1，所以cos2α＝1，因为α为第二象限角，所以cosα＝﹣，sinα＝，（2）原式＝＝＝﹣．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）的单调性，并给出证明．解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，当x＞0时，．∴当x＜0时，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x﹣+1＝﹣f（x），则f（x）＝x﹣1，（x＜0），即f（x）＝．（2）设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1++1﹣x2﹣﹣1＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣）＝（x1﹣x2）•，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，1）上是减函数．20．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过A（0，2）和B（2，5）．（1）若log a x＜b，求x的取值范围；（2）若函数g（x）＝，求g（x）的值域．解：（1）∵函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过A（0，2）和B（2，5）．∴，得，则log a x＜b，等价为log2x＜1，得0＜x＜2，即x的取值范围是（0，2）．（2）f（x）＝2x+1，当x≤0时，g（x）＝f（x）﹣1＝2x∈（0，1]，当x＞0时，g（x）＝log22x+＝x+＞，综上g（x）＞0，即函数g（x）的值域为（0，+∞）．21．已知函数f（x）＝cos2x﹣3，g（x）＝2a cos x﹣4a．（1）求函数的最大值；（2）当时，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．解：（1）函数h（x）＝sin2x+cos2x﹣3＝2sin（2x+）﹣3，当2x+，即x＝k时，h（x）max＝2×1﹣3＝﹣1，故函数h（x）的最大值为﹣1；（2）由f（x）＞g（x）可得：a（2cos x﹣4）＜cos2x﹣3＝2cos2x﹣4，即a（cos x﹣2）＜cos2x﹣2，因为cos x﹣2＜0恒成立，所以a＞，令cos x＝t∈[0，1]，则a＞在[0，1]上恒成立，只需a＞（，令g（t）＝，t∈[0，1]，则g′（t）＝，令g′（t）＞0解得：0＜t＜2﹣，令g′（t）＜0，解得2﹣＜t＜1，故函数g（t）在区间[0，2﹣]单调递增，在[2﹣，1]上单调递减，所以当t＝2﹣时，g（t）max＝4﹣2，所以a，即实数a的取值范围为（4﹣2，+∞）．22．某电商店铺为促销一件标价49元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A，除包邮外，享受每满200元（标价）减40元，但在收货之前不能退换．小明正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买．（1）请写出小明每件商品实付款均价y与购买商品A的件数x（0＜x≤12，x∈N）的函数关系式；（2）小明对该商品的实际需求为6或者7件，为了追求最大优惠，小明考虑以下两种方案：方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货；方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）．若以小明的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小明选择一个购买的最优策略．解：（1）当0＜x≤4时，y＝49；当4＜x≤8时，；当8＜x≤12时，；综上所述，；（2）方案一：当x＝6时，，当x＝7时，，方案二：当x＝6时，买9件再退3件得，，当x＝7时，买9件再退2件得，，所以购6件时选方案一，购7件时选方案二．。