习题1-3 A 组1.试用“εδ-”语言证明（1）2365lim 45x x x x →--+=--（2）33lim 27x x →= （3）4lim12x x x →∞+=+解析：考查函数极限的证明，“εδ-”语言和数列中的“N ε-”语言有类似的地方，不同的是自变量的趋势不同，同样关键在于找到自变量的取值范围，即δ的值证明：（1）要使265435x x x x ε-++=+<-，则可以取δε=0ε∀>，δε∃=，当0(3)x δ<--<时，恒有26545x x x ε-++<-成立 则2365lim45x x x x →--+=--成立 （2）要使3227(3)(39)273x x x x x ε-=-++=-<，则可以取27εδ=0ε∀>，27εδ∃=，当03x δ<-<时，恒有327x ε-<成立则33lim 27x x →=成立（3）由42122x x x ε+-=<++，得22x ε<+，则可以取22X ε=+ 0ε∀>，22X ε∃=+，当x X >时，恒有412x x ε+-<+成立 则4lim12x x x →∞+=+成立2.设函数223,1(),1222,2x x x f x x x x x ⎧+-≤⎪=<<⎨⎪-≥⎩，求5lim ()x f x →-，1lim ()x f x →，2lim ()x f x →，3lim ()x f x →解析：考查分段函数极限的求解，在连续函数上某点的极限即为该点的函数值，而对于在某点上无定义，但在其去心领域内有定义，若0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==，则0lim x x A →=解：51-≤Q ，25lim ()(5)2(5)312x f x →-=-+⋅--=()f x Q 在1x =，2x =上无定义但是211lim ()lim(23)0x x f x x x --→→=+-=，11lim ()lim 1x x f x x ++→→==，则1lim ()x f x →不存在 22lim ()lim 2x x f x x --→→==，22lim ()lim(22)2x x f x x ++→→=-=，则2lim ()2x f x →= 32≥Q ，3lim ()2324x f x →=⋅-=3.设函数1sin ,0()1sin ,0x x xf x x x ⎧-∞<≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩求0lim ()x f x -→，并利用海涅归结原则说明0lim ()x f x +→不存在解析：考查海涅归结原则的应用，即将函数的极限转化为数列的极限来求解 解：01lim ()lim sin x x f x x x--→→=，0lim 0x x -→=Q ，01lim sin x a x -→=（[1,1]a ∈-） 则0lim ()0x f x -→= 01lim ()lim sin x x f x x++→→=，取1,1,2,,2n x n n π==L 则lim ()limsin 20n n n f x n π→∞→∞== 取1,1,2,,22n y n n ππ==+L 则lim ()limsin(2)12n n n f y n ππ→∞→∞=+=从而可得0lim ()x f x +→不存在 4.求下列极限（1）220()lim h x h x h →+-（2）2222lim (1)x x x x →∞--（3）x →（4）0(1)(12)(13)1lim 3x x x x x →+++-（5）121(1)lim (1)n x x n x nx +→-++-（6）322lim()2121x x x x x →∞--+ （7）20cos3lim x cosx x x →- （8）20(3)9lim h h h →+-（9）224lim 34x x x x →∞--+（10）32323lim 42x x x x→--+-（11）1lim()1xx x x →∞+-（12）111lim x x x -→（13）arctan limx x x→∞（14）0tan 2lim sin 5x xx →（15）312cos lim sin()3x xx ππ→--（16）212arcsin(12)lim 41x x x →-- （17）222sin lim(tan )cos x x x x π→-（18）211lim(2)x x x +→-+（19）2lim()xx x a x a→∞+-（20）2limx +→（21）limx 22）22cot 0lim(sec )x x x →解析：考查函数极限的求解，本节所学的求极限的方法包括夹逼准则、两个重要极限还有极限的定义，在实际解题的过程中，需要把握被求极限函数的形式，适用于哪种求极限方法，对于函数中包含幂函数和三角函数，可以考虑重要极限一，而对于存在指数的复合函数中。

则需考虑重要极限二解：（1）222000()2lim=lim lim(2)2h h h x h x xh h x h x h h→→→+-+=+=，本体需注意h 为函数的自变量，那么x 就可以看作为一个常数（2）222222(1)22limlim lim lim 21(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞--====---- （3）1lim 4x x x →→→===（4）232000(1)(12)(13)1611611limlim lim(22)2333x x x x x x x x x x x x x →→→+++-++==++= （5）11222111(1)(1)(1)limlim lim (1)(1)(1)n n n x x x x n x n x nx x n x x n x x x x ++→→→-++--+---==--- 因为1111n n x x x x --=+++-L ，则上式可以转化为 12211122111(1)(1)(1)lim lim lim (1)11111lim lim[1(1)(1)(1)]1(1)122n n n x x x n n x x x x n x x x x n x x x n x x x x x x x x x x x n n n -→→→-→→---+++-+++-==----+-++-==+++++++++-+=+++=L L L L L L即121(1)(1)lim (1)2n x x n x n n n x +→-+++=-（6）32322322232(21)(21)1lim()lim lim 2121(21)(21)42214x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞+--+-===-+-++-- 对于分子分母都趋于无穷大，且分子分母最大幂相等，则其极限为分子分母最大幂系数之比即10101020lim n n n n x a x a x a b x b x b --→∞++=++L L （7）2220000cos cos3cos(2)cos(2)2sin 2sin limlim limsin 2sin 4lim 42x x x x x x x x x x x xx x x x x x x→→→→---+===⋅= （8）2200(3)96limlim 6h h h h h h h →→+-+== （9）22224124lim lim 3434x x x x x x x x x→∞→∞----==∞++ （10）32323232(3)(3)3lim64242(3)x x x x →--+⋅---+==---⋅- 注：分子分母的极限都为常数，直接带入求解即可（11）2121121222lim2111222lim()lim(1)lim(1)lim(1)1111lim x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x eee→∞---⋅-→∞→∞→∞→∞--→∞⎡⎤+=+=+=+⎢⎥----⎣⎦===注：对于类似于上题的式子求极限，都可以考虑重要极限二求解，在后面的学习中，我们称类似上题的式子为1∞型极限 （12）本题也是1∞型极限，则111(1)1111111111lim lim(11)lim(1)lim 11xxx x x x x xx e e x ⋅------→→→→=+-=+==- （13）tan 2arctan limlim 0tan arc x t x t x tx t π=→∞→−−−−→=注：这里用到了换元的思想 （14）0000tan 2sin 21212lim lim lim lim sin 5sin 5cos 25cos 25x x x x x x x x x x x x →→→→=⋅=⋅=（15）333223312cos[()]1cos())12cos 3333lim lim lim sin()sin()sin()333332sin )2()232limlim sin()33x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππππππππππππππ→→→→→--+--+--==-----+-⋅===--（16）2111222arcsin(12)0arcsin(12)arcsin(12)1arcsin(12)limlim lim41(21)(21)21211lim 2sin 2x x x x t t x x x x x x x t t →→→-=→---==---+-−−−−−→-=-（17）22222222sin sin sin sin (1sin )sin 1lim(tan )lim lim lim cos cos (1sin )(1sin )1sin 2x x x x x x x x x x x x x x x xππππ→→→→---====-++（18）21221111lim(2)lim(11)x x x x x x e ⋅++→-→-+=++=（19）333323lim()lim(1)lim x a ax axx a a xax a x x x x a a e e x a x a -⋅--→∞→∞→∞+=+==--（20）222222lim lim lim lim lim 11lim 22x x x x x x ++++++→→→→→→=+=+=+=（21）limlim lim 1x x x =====（22）2212cot 2tanlim(sec )lim(1tan )lim xxx x x x x e e →→→=+==5.求函数()f x =解析：考查函数水平渐近线的求解，根据定义3.5，当lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞有一个存在时，假设lim ()x f x c →+∞=（c 为常数），则函数有水平渐近线y c =，因此求解水平渐近线只需求lim ()x f x →+∞或lim ()x f x →-∞解：因为lim ()limlim1x x x f x →+∞===，lim ()limlim1x x x f x →-∞===-则函数的水平渐近线为1y =± B 组1. 试用“εδ-”语言证明（1）3lim(31)8x x →-= （2）21214lim 221x x x →--=+（3）2441lim345x x x x →-=--解析：考查函数极限的证明，“εδ-”语言证明的关键在于找到δ的值， 解：（1）要使31833x x ε--=-<，则可以取3εδ=0ε∀>，3εδ∃=，当03x δ<-<时，恒有318x ε--<成立则3lim(31)8x x →-=成立（2）要使21412212()212x x x x ε--=+=--<+，则可以取2εδ= 0ε∀>，2εδ∃=，当102x δ<+<时，恒有214221x x ε--<+成立 则21214lim 221x x x →--=+成立（3）当4x →时，只需考虑在点4x =的局部领域内的x ，可以取041x <-<，则35x <<要使2411144345155(1)20x x x x x x x ε----=-=<<--++，则可以取20δε=0ε∀>，20δε∃=，当04x δ<-<时，恒有241345x x x ε--<--成立 则2441lim345x x x x →-=--成立 2.求下列极限（1）330()lim h x h x h →+-（2）342lim 31x x xx x →∞+-+ （3）20lim 1cos x x x →-（4）20(1)(13)1lim x x x x→++-（5）)x x →∞（6）1101lim1x x xa a→-+（0a >）（7）01lim x x→（8）22252lim 327x x x x x →∞--+-（9）229lim 631x x x x x →∞--+-（10）0sin lim sin x mx nx →（0n ≠）（11）1sin 3sin 2limx x x x →-（12）2lim[(1)tan ]2x xx ππ→-（13）2221sin (1)lim (1)x x x →--（14）lim )x x x →-∞ （15）lim )x x x →+∞（16）lim()1nn n x n →∞+- （17）1sin lim()sin x a x a x a -→（18）10lim ()2x x n x a b+→+（,0a b >） 解析：考查函数极限的求解，一般求解的步骤为先判断什么类型的极限，然后分析使用什么方法求解更为合适，现在所学的求解方法主要为化简直接求解和两个重要极限，要熟练掌握各种方法的适用范围 解：（1）本题为型极限的求解，分析题干发现可以直接化简求解3332233222000()33lim lim lim(33)3h h h x h x x xh x h h x xh x h x h h →→→+-+++-=++=（2）本题为∞∞型极限的求解，分析题干，分子分母都为多项式，且分母的最高幂指数大于分子的最高幂指数，则可以直接得出结论，该结果以后可以直接当作结论342lim 031x x x x x →∞+=-+ （3）本题为型极限的求解，且分子中含有三角函数，可以考虑重要极限一 22200022lim lim 2lim 21cos 2sin sin 22x x x x x xx x x →→→⎛⎫⎪=== ⎪- ⎪⎝⎭（4）本题为型极限的求解，可以直接化简求解 2232000(1)(13)115731lim lim lim(573)5x x x x x x x x x x x x→→→++-+++-==++= （5）本题为∞-∞型极限的求解，可以化简为∞∞型极限的求解)0x x x →∞==（6）本题并不能看出是什么类型的极限，可以先分析当1a >时，10lim 0xx a -→=，10lim xx a +→=∞，则10lim xx a →不存在 同理当01a <<时，10lim xx a →也不存在当1a =时，10lim 1xx a →=，此时1101lim01x x xa a→-=+综上可得，当1a =时，1101lim01x x xa a→-=+；当1a ≠时，极限不存在（7）本题为型极限的求解，可直接化简求解0011lim2x x x x →→→==（8）本题为∞∞型极限的求解，分子分母都为多项式，且分子分母多项式最高次幂相等，则该极限等于最高次幂系数的比值222522lim 3273x x x x x →∞--=+-（9）本题为∞∞型极限的求解，和上题类似 2291lim 6316x x x x x →∞--=+-（10）本题为型极限的求解，可直接利用重要极限一 00sin sin 1lim lim sin sin x x mx mx m m nx nx mx n nnx→→=⋅⋅= （11）本题为ab型极限的求解（a ，b 都为常数），直接带入求解1sin 3sin 2lim sin 3sin 2x x x x →-=-（12）本题为ab 型极限的求解（a ，b 都为常数），直接带入求解22lim[(1)tan](1)tan 224x xx ππππ→-=-（13）本题为型极限的求解，可以利用重要极限一求解 2222211sin (1)sin(1)11lim lim (1)1(1)4x x x x x x x →→--⎛⎫=⋅= ⎪--+⎝⎭ （14）本题为∞⋅∞型极限，即lim x x →-∞=-∞，)limx x →-∞=∞，由此可得lim )x x x →-∞=-∞（15）本题为0∞⋅型极限，可先化简为分子分母式再判断1lim )limlim2x x x x x →+∞=== （16）本题为1∞型极限，可以利用重要极限二1(1)(1)11111lim()lim(1)lim 11nn x n x n x x n n n n n n x x e e n n -++⋅++++→∞→∞→∞++=+==-- （17）和上题类似，本题也为1∞型极限，可以利用重要极限二sin sin sin sin sin 1sin sin sin ()sin ()sin sin 1sin()sin 1sin()cos cos limlim lim c sin ()sin sin sin sin sin sin lim()lim(1)lim sin sin x a x a x a ax ax ax a a x a a x a x ax a x a x a x ax a a a x a aaa x a a x aa x aax x a e a aeeeee→→→--⋅----→→→--+------=+======ot a（18）和上题类似，本题也为1∞型极限，同样可以利用重要极限二0112212lim222220002lim()lim(1)lim 22x x x x x x x x x a b a b a b x xx xx x x xa b xx x x a b a b e e+→+++--+-+-+⋅+-→→→++-=+==令1xa t -=，（当0t +→时，0x +→），ln(1)ln t x a+=，则100001ln ln 1ln 1ln lim lim lim ln(1)22ln(1)222lim ln(1)x x t t tt a t a a a a t x t t t ++++→→→→-==⋅=⋅=+++ 同理01ln lim 22x x b bx +→-=则1ln ln 220lim()2a bx x x x a b e ++→+==3.求函数()x f x x=在0x →时的左、右极限，并说明它在0x →时的极限是否存在解析：考查函数的左右极限，已知函数在某点上极限存在的充要条件为其左右极限存在且相等，则可以根据左右吉极限判断极限在否存在解：左极限：00lim ()lim lim 1x x x x xf x x x---→→→-===- 右极限：00lim ()lim lim 1x x x x xf x x x+++→→→=== 因为0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，则函数在0x →时的极限不存在 4.求曲线1siny x x=的水平渐近线 解析：考查函数曲线的水平渐近线，若存在lim x y c →∞=，则称y c =为曲线的水平渐近线，其中lim x y →∞可以从lim x y →-∞和lim x y →+∞这两个方向考虑解：因为1sinlim lim lim11x x x x y y x→-∞→+∞→+∞===则曲线的水平渐近线为1y =5.当2x →时，24y x =→，问δ等于多少，使得2x δ-<时，40.001y -<?解析：本题考查函数极限的定义，根据已知条件可知0.001ε=，要求δ的值，只需求出ε和δ的关系解：当2x →时，只需考虑x 的一个局部区域，假设21x -<，则13x << 要使24(2)(2)52x x x x ε-=+-<-<，则可以取5εδ=0ε∀>，δε∃=，当02x δ<-<时，恒有40.001y -<成立 则0.00025εδ==。