本
课 指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有
时
栏 理数指数幂．
目 开 关
研一研•问题探究、课堂更高效
例 1 求下列各式的值：
1
(1)1002
；(2)8
2 3
；(3)9
3 2
；(4)
1
3
4
.
81
解
1
(1)1002＝ 102
1 2
＝10212
＝10.
本
课 时
2
(2)8 3 ＝
23
目 开
3．aras＝___a_r_＋_s __(a>0，r，s∈Q)．
关 4．(ar)s＝___a_rs____(a>0，r，s∈Q)．
5．(ab)t＝___a_tb_t ___(a>0，b>0，t∈Q).
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探究点一 分数指数幂
问题 1 整数指数幂的运算性质有哪些？
本 答 (1)am·an＝am＋n；
2 3
＝
32
23
=22＝4.
栏
目
开 关
(3)9
3 2
＝
32
3 2
＝32
3 2
＝33
＝217.
(4)
1
3
4 ＝
34
3 4
＝33＝27.
81
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小结 在进行求解时，首先要把比较大的整数化成比较小的数的
指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数
本 课
为正指数，同时还要注意运算的顺序问题．
am＝
m
an
(a>0，m，n∈N*)．
栏
目
开
关
研一研•问题探究、课堂更高效
小结
我们规定正数的正分数指数幂的意义为a
m n
＝n
am(a>0，m，
n∈N*)．
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同．即
a
m n
＝
1
m
an
本 (a>0，m，n∈N*)．
课 时
规定：0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义．
殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．正数的正分数指数幂的意义为：a__mn_＝__n__a_m_(a__>_0_，__m__，__n_∈__N_*_)_.
本 2．正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同．即
课
1
时 栏
_a__mn __＝___a_mn_(_a_>_0_，__m__，__n_∈__N_*_)_．
本 课 时 栏 目 开
解
(1)
3
2
2＝
23
1
1
2 2 ＝[2·23 ]
1
1
1
2
＝
1 1
23
2
＝
2
4 3
2
＝
2
4 6
＝
2
2 3
.
3
(2)
xy2·
xy3＝[xy2(
1
33
xy)3] 3 ＝(xy2x 2 y 2)
1
3＝
1 3 2 3
x 2y 2
关
57 1
57
＝( x 2 y2 ) 3 ＝ x6 y6 .
(2)对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有

目 开
特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示．但结果不能同
关 时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
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跟踪训练 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)
3
2
2；(2)3
xy2·
xy3.
课
时 (2)(am)n＝am·n；
栏
目 开 关
(3)aamn ＝am－n(m>n，a≠0)；
(4)(a·b)m＝am·bm.
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问题 2 零和负整数指数幂是如何规定的？ 答 规定：a0＝1(a≠0)；00 无意义，a－n＝a1n(a≠0)．
本 课 时 栏 目 开 关
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解
(1)a2
1
a＝a2 a 2
＝
a
2
1 2
＝
a
5 2
.
本
1
1
课 时
(2)
a
a＝ a
a
1 2
＝
aa
1 2
2
＝
a
3 2
2
＝
a
3 4
.
栏
目
开
关
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小结 (1)式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方
便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算
本 课
性质运算．
时 栏
目
开 答 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以
关 写成分数指数幂形式．
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问题 4 当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可 以写成分数指数幂的形式？
答 能．例如
3
a2＝
a
2 3
(a>0)；
1
b＝b 2
(b>0)；4
c5＝c
5 4
(c>0)．
本 课 时
即n
时
栏
目
开
关
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跟踪训练 1 求值：
(1)
25
1 2
；(2)(12)－
5；(3)
16
81
3 4
.
解
(1)
25
1 2
＝
52
1 2
＝
2
5
1 2
＝5－1＝15；
本 课 时
(2)(12)－5＝(2－1)－5＝2(－1)×(－5)＝32；
栏 目 开 关
(3)
1861
3 4
＝
栏 目
规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数
开 关
幂只是根式的一种新的写法．
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问题 5 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指 数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有 理数指数幂是否还适用？ 答 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数
3.1.1 分数指数幂(二)
【学习要求】
1.理解分数指数幂的意义；
本 2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
课 时
3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质；
栏 目
4.了解无理数指数幂的意义．
开 关
【学法指导】
通过类比、归纳，理解分数指数幂的有关运算性质，加深根式
与分数指数幂关系的理解，提高归纳、概括的能力，了解由特
问题 3 根据 n 次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从
中总结出怎样的规律？
①5
a10＝ 5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)；
8
② a8＝ a42＝a4＝a 2 (a>0)；
本 课 时 栏
③4
a12＝ 4
12
a34＝a3＝a 4
(a>0)；
④5
a10＝ 5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)．
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例 3 计算下列各式(式中字母都是正数)．
2 1 1 1 1 5
(1) 2a 3b2 6a 2b3 ÷ 3a 6b6 ；
本
课 时
1 3 8
栏
(2) m4 n 8 .
目 开 关
2 3
4
3 4
＝
2 3
3＝287.
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探究点二 分数指数幂的应用 问题 引入分数指数幂的意义是什么？
答 引入分数指数幂并将幂的运算性质推广到有理数的意义
本
是将乘方与开方的运算统一为同一种运算，即幂的运算．
课
时
栏
目
开
关
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例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): (1)a2 a；(2) a a.