不共线，则
，解得
，
故与
的夹角为锐角时，实数 的取值范围为：
.
18．【答案】（1） ，（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）因为
，
所以 所以
，解得
，
，
所以
的最小正周期为
，
（2）由
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
在
上的最大值为 ，最小值为
19．【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）在
中，由正弦定理
，得
，即
，
，
中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围为___________.
16．锐角三角形
中，若
，则 的范围是
；
19（本小题满分 12 分）在锐角
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．
（1）求角 的大小；
（2）求
的面积．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
22．【答案】（1）
（
），
；（2） .
【解析】（1）由
得
，
将
（ 为参数）消去参数 ，
得直线 的普通方程为
由
得
将
，
（
）.
，
代入上式，
得
，
所以曲线 的直角坐标方程为
（2）由（1）可知直线 的普通方程为
.
（
），
化为极坐标方程得
（
），
当
（
）时，设 ， 两点的极坐标分别为
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
范围是（ ）
A．
B．
10．函数
，若方程
有三个不同的实根，则实数 k 的取值
C． D． 的部分图象如图所示，
的值为（ ）
A．0 B． C． D．
11．给定两个单位向量 ， ，且
，点 在以 为圆心的圆弧 上
运动，
，则
的最小值为（ ）
A．
B． C． D．
12．已知实数 ， ， 满足
并求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列 的前 项和 .
21（本小题满分 12 分）已知函数
.
（1）若曲线
存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围；
（2）求
的单调区间；
（3）设函数
，求证：当
时，
在
上存在极小值.
选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
此
卷
只
装
订
不
密
封 座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
【高三月考】
2021 届高三上学期月考试题（十二月）
数学（理）试题
一、选择题：(每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.)
1．复数
的模为
（）
A．1 B．2 C． D．
2．下列四个函数，在
处取得极值的函数是
（）
22（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为
（ 为参
数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线
（
）与直线 和曲线 分别交于 ， 两点，求
的值.
23（本小题满分 10 分）设函数
（1）求 的值；
，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13．设集合
，
集合为___________.
14．已知向量 、 满足
，
，若
，
，则实数 的取值
，则向量 与 的夹角为______.
15．若三个关于 x 的方程
.
又因为
，所以
.
因为
为锐角三角形，所以
.
（2）在
中，由余弦定理
或
.
，得
，即
.解得
当
时，因为
因为
，又
题意.所以
的面积
，所以角 为钝角，不符合题意，舍去.当
时，
，所以
为锐角三角形，符合
.
考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．
20．【答案】（Ⅰ）数列
不是等比数列.
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）数列
不是等比数列.，由
A．2020 年 B．2021 年
C．2022 年 D．2023 年
5．在公差 不为零的等差数列 中，
，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．为了得到函数 有的点（ ）
的图象，只需把函数
，
的图象上所
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
（2）若
（
），求证：
（ ）的最小值为 1. .
理科参考答案
1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．A 11．B 12．D
二、13．
14． 15．
16．(
三、17．【答案】（1）
或
（2）
【解析】（1）因为
，且
，
则
，
又
，所以
，即
，
故
或
；
（2）由
，则
，
由
，解得
，
又与
（
）可知，
当
时，
，两式相减得
，即
，所以
由
（
）得当
时，
，
，
所以数列
是从第 2 项起，以 2 为公比的等比数列，所以
（Ⅱ）
，
所以
.
21．【答案】(1)
.(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】（1）由
得
.
由已知曲线
存在斜率为-1 的切线，所以
即
存在大于零的实数根，因为
所以实数 a 的取值范围
.
存在大于零的实数根，
17（本小题满分 12 分）已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中
.
（1）若
，且
，求 的坐标；
（2）若
，与
的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
18（本小题满分 12 分）已知函数
，满足
，
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在
上的最大值和最小值．
20（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且
在
时单调递增，
（2）由
可得
当
时，
，所以函数
的增区间为
；
当
时，若
，
，若
，
，
所以此时函数
的增区间为
，减区间为
.
（3）由
及题设得
，
由 所以
可得
，由（2）可知函数
在
，取
，显然
，
上递增，
，所以
，
，所以存在
满足
在区间（1，+∞）上的情况如下：
，即存在
满足
－
0
+
↘
极小
↗
所以当-1<a<0 时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.
①
②
③
④
A．① ② B．② ③ C．③ ④ D．① ③
3．不等式
的解集是
，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超 过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)（ ）
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
7．在
中，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
8．命题“
”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）