l
h
qh3l () 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1
1 1
A
B
ll
Mi 1/l
ql 2 / 4
ql 2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2ql2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
例. 试求图示梁B端转角.
A
P B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl/ 4
解: B MEMIPds

yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl 2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
NP P/2
P A
l Cl
2
2
a
B
Ni 1/ 2
D
1 A
l Cl
2
2
a
B
l
MP
Pl
M
4
4
C y E 2 [1 2 ( I2 l P 4 ) 3 2 l 4 l] E 1 1 2 A P 2 a 4 P E 38 l 4 P E I( ) a A
三、图形分解
求 B
q
q
A
B
MP
ql 2
/8
E
I
ql
2
/4
l
ql2 / 8
ql 2
1
4
Mi
B
1 2 ql2 ( l
EI 3 8
1 1 ql2 l
22 4
21) 3
ql3 ( ) 24EI
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
3ql2 / 32
A
B
EI
C
MP
ql2 / 8
EI 22 2
8EI
（顺时针）
1
MP图 1 M图
例. 试求图示梁D端竖向位移. EI=常数。
解: A
Δ A y
Ay 0 EI
a m
1 (1am2a 1ama)
EI 2
32
3 a/3
1 ma2 () 6 EI
a 2a/3
m
B a
m
m
a/3
a/3
C a
a
D
MP图 1
M图
24 EI
Mi
C
C
yc 1(13q2ll3l lq2ll)
EI EI3 8 2 4 2 2 8 4
5q3l () 12E8I
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql 2 / 2
q ql2 / 8
MP A l/2C l/2 B
l/2
1
c
yc
1
Mi
1/ 3
2/3
B

1 EI
(1 1040 2
2 3

1 10201) 500( )
2
3 3EI
20 A
20kNm A
B 40 B 40kNm
三、图形分解
求 B
20
A
MP
EI
20kNm
40 B
B

1 EI

1 2
101(20
20 2) 500( )
10m40kNm
l ql 2 1 l ) 2 8 22
17 ql 4 () 384 EI
ql2 / 8
ql2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
Pl
l
PP
AB
ABY
对称yc 结构的对称弯矩图与
其E反I 对称弯矩图图乘,结果
解:
Δ A y
Ay 0 EI
EI
A
l/2
l/2
Pl / 2
P
1(1lPl)5l5Pl3() l/6 EI 22 2 6 48EI l 5l/6
MP图
1 M图
练习： 试求图示梁A端截面转角.
A

Ay 0 EI
Pl / 2
P
1 1l Pl
1Pl2 l/6
( )1(1)
MP
1
1
l l Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc1(1lq2l2l1lq2ll2lq2ll)
EI EI2
32
38
1q 14l( ) 1E 2 I
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B 3m
2kN/m 4
MP
4m
6kN
12 A 2m
1
Mi
EI 2 4 3 2 2
4 32 3
8 22
2 2ql4 () 48EI EI
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql 2 / 2
q ql2 / 8
MP A l/2C l/2 B
l/2
1
c
yc 1 1l ql2 1 l
EI EI3 2 2 2
1 ql3 ()
2. 若 与 y c 在杆件的同侧， y c取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
A
B
h
q
1
q
1
l
ql2 / 8
h h
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CDEycI

1 2ql2 EI 3 8
k
k
l
l
Mi
P/2
1/2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
yc
EI
1(lPll 1lPl1l lPll 1lPl2l)P11 EI 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 k
P3lP() 2EI 4k
EI
1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
Mi
ql 2 / 2
C q
1 l ql2 1 l )
22 8 32
ql 2 / 8 17 ql 4
()
384 EI
ql2 / 32
1P 13(l ) 3EI
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
PC D
P
l
PlEI
EA
EI Pl
A MP B
l
1
1
l l
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
yc
EI
N iN Pl11Pll2l41(2P ) (2)l EAEI2 3 EA
4P3l4P( l ) 3EIEA
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B E ycIE 1(I1 2412 1 313 2441 2)
8( ) 3EI
求B点水平位移,EI=常数。
2Pl
2l
A
MP
Pl
A
MP
l Pl l B
l
1
B
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B E yc IE 1[1 2 IlP3 2 llPlll1 2Pll(l2 3 l)Pll3 2 l]
ql3 ( 24EI
)
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
q
1
l
A ql 2 / 4
l/2
l
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 (1lql2 2 l 1 2lql2 2 l 2 2lql21 l)
例. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MMPds EI

yc
EI
1 (1 Pll 2 l Pll l)
EI 2
3
4 Pl3 () 3 EI
二、常见图形的面积和形心位置
b
l/4 l
A 1 bl 3
l/2
l/2
EI
MP
P
Mi
A
B
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l
1
注意:各杆刚度 可能不同
B
yc 11Pll2l2 1 Plll
EI EI2
3
4EI
5P3l( ) 8EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql C
l
q
A
l
D ql
q
B ql 2

B
l 2

l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl 2 ( ) 16 EI