分析： 分析： 在直杆结构中总是直线。 M在直杆结构中总是直线。 满足上式推导中f(x)的条件 满足上式推导中f(x)的条件 f(x)
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
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3. 常见图形的面积和形心
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注意: 注意:
标准抛物线
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4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
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C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
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P A L/2 PL y A L/2 ω A C B M B MP C B L/2
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例3：试求图示刚架B点的水向位移，EI为常数。 图示刚架B点的水向位移，EI为常数。 刚架 为常数 L C q L A B
2 L 3
D L
qL2/2 ω2 ω1 qL2/8
L y2
y1
ω3
y3
MP
y1 =
M
2 1 × L × qL2 3 8 y3 = 1 L 2
一般结构（ 一般结构（梁、刚架、桁架、拱和组合结构）： 刚架、桁架、拱和组合结构）：
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2. 问题的分析过程
EI为常数 EI为常数
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
1 ∆= EI
∑ ∫ MM
P
ds
从数学上说：M、MP各为一函数，即： 从数学上说： 各为一函数， f(x)=ax+b
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分段图乘
一图形为曲线，另外一图形为折线
ω1
ω2
y1
y2
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分块图乘
基本原理：叠加原理
ω1 ω2 ω3
y2
y1
y3
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混合图乘 ω2 ω1
ω4
ω5
ω3
y5 y4
y3
y2
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作业： 作业：
P307： P307：6-15 a) P307： P307：6-16 b) P308： P308：6-23
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ω1 =
1 1 × L × qL2 2 2
ω3 =
1 1 ω 2 = × L × qL2 2 2
2 y2 = L 3
1 3qL4 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω3 y3 ) = ∆C = EI 8EI
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小结： 小结：
应用图乘法的前提：两直线一常数; 应用图乘法的前提：两直线一常数; 常见图形的面积和形心－－记忆; 常见图形的面积和形心－－记忆; 面积和形心－－记忆 注意图形分段、分块的方法。 注意图形分段、分块的方法。特别 是对非标准抛物线的处理－－分块; 是对非标准抛物线的处理－－分块; －－分块 弯矩图绘制的准确性; 弯矩图绘制的准确性;
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1. 问题的提出
荷载作用下弹性位移的一般公式: 荷载作用下弹性位移的一般公式:
积分计算－ 积分计算－复杂
NN P ∑ EA l
剪力影响可忽略
MM P NN P kQ QP ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA
y1
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混合图乘 ω1 非标准抛物线 ω2 ω4 y1 y2 y3 y4 非标准抛物线 ω3
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5. 图乘法应用实例
例1：试求图示悬臂梁B点和C点的竖向位移，EI为常数。 图示悬臂梁B 的竖向位移，EI为常数。 为常数 P A L/2 PL ω A L y A B
不能取M 不能取 P的面积
1 ∆c = ωM y EI
1 1 1 1 5 5PL3 = × L × L × PL = EI 2 2 2 6 48EI
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例2：试求图示悬臂梁B点的竖向位移，EI为常数。 图示悬臂梁B点的竖向位移，EI为常数。 为常数 q A L/2 3qL2/8 ω3 A L A y3 ω2 ω1 y2 y1 B M qL2/8 标准抛物线 B MP
图乘法
图乘法的适用条件: 图乘法的适用条件: 的适用条件
杆轴为直线; ; EI＝常数; ; M与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形; ;
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MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
注意事项: 注意事项:
ω与y0对应不同的弯矩图形; ; y0所在的弯矩图必须是直线; ; ω与y0在杆的同一侧为正，反之为负; ; EI为无穷大时，表示本段产生的位移为0; ;
结构力学教学竞赛
李保德
副教授
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室
6-5
结构位移计算的图乘法
本节的主要内容： 本节的主要内容：
图乘法推导及其应用条件; 图乘法推导及其应用条件; 推导及其应用条件 常见图形的面积和形心; 常见图形的面积和形心; 图乘的一般方法; 图乘的一般方法; 一般方法 应用实例; 应用实例;
∫ f ( x) g ( x)dx
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a ∫ xg ( x) dx + b ∫ g ( x )dx
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y
面积ω 面积ω 形心 g(x) A x0 f(x) B x B
面积矩
面积
a ∫ xg ( x) dx + b ∫ g ( x )dx
ax0ω + bω = ω (ax0 + b ) = ωy0