7 8 994 4 6 4 7 3惠州市2008届高三第三次调研考试数学试题（理科卷 2008.1） 第Ⅰ卷（选择题，共40分）一．选择题：本大题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分40分．1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．82．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）.A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －23．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个43421Λ转换成十进制形式是（ ）.A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.55．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）. A ．84，4.84 B ．84，1.6 C ．85，1.6 D ．85，46．定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x的图象是（ ）.7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能8．已知函数①x x f ln 3)(=；②xe xf cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=.其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量)()(,212x f x f x 使=3成立的函数是（ ）.A ．③B ．②③C ．①②④D ．④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．9．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==u u u r u u u r则BC AC 与的夹角的大小为 .10．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x =5，则运算进行 次才停止。

11．下图的矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为 .12．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则ABCk = .13．(坐标系与参数方程选做题) 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 . 14．(不等式选讲选做题) 函数46y x x =-+-的最小值为 .15．(几何证明选讲选做题) 如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若CPA ∠=30°，PC = 。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （I ）共有多少种不同的结果？（II ）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？ (III ）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A AA A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.（I ）求f (A )的最大值； （II ）若2,1)(,127===+BC A f B A π，求△ABC 的三个内角和AC 边的长.18．（本小题满分14分） 如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2,6AB PA ==（1）求证：11PA B D ⊥；（2）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的余弦值； （3）求1B 到平面PAD 的距离19．（本小题满分14分）已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程;OBPC（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),(n S n n 在直线21121+=x y 上. 数列{b n }满足11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153. （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.（Ⅲ）设**(21,)()(2,)n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，问是否存在*N m ∈，使得)(5)15(m f m f =+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xtx x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N . （I ）当2=t时，求函数)(x f 的单调递增区间；（II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a Λ使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值.惠州市2008届高三第三次调研考试数学试题参考答案（理科卷）（2008.1）一、选择题1. 解析：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。

故选择答案C 。

2．解析： ⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=-+0230222a a a a 即 2-=a ，故选择答案A3．解析：15141016216(1111)1212121221=⨯+⨯+⨯+⨯=-L L 123，答案：C4. 解析：f (1.40625)=－0.054< 0，f (1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。

答案：C5．解析：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。

利用方差公式可得方差为1.6．答案：C 6. 解析：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力．本题综合考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力． 当x ＜0时,2x ＜1, f(x) =2x ； x ＞0时,2x ＞1, f(x) =1． 答案：A7．解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C8．解析：②④是周期函数不唯一，排除；①式当1x =1时，ln10=不存在2x 使得成立，排除；答案：A二、填空题：9．解析：．(2,2),cos ,0,,90AC BCBC AC BC AC BC AC BC=-<>==∴<>=︒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g Q u u u r u u u r 10．解析：第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325。

11．解析：利用几何概型52325300138=⨯⨯。

12．解析：画图，联立方程20y x x y k =⎧⎨++=⎩得33k x ky ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入3()8,633k k k -+⨯-=∴=-13．解析：由24sin ρρθ=，得22222,(2)4x y y x y +=∴+-= 14．解析：4y 2102x x <=-+>时，；46y 2x ≤≤=时，；6y 2102x x >=->时，；所以函数的最小值为215．解析：连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠．∵CPA ∠=30°，OC=2AB=3， ∴03tan 30PC=，即PC= 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16.解: （I ） 共有3666=⨯种结果 ………………4分（II ）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4）， （3,6），（6,3），（6,6）共12种 ………………8分（III ）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P ＝313612= …………12分 17、解：（I ）A A AA A A A A A A A A f 22222cos cos 2cos2sin cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin )12(cos )(+=+-+=.21)42sin(22)12cos 2(sin 21cos 2sin 212++=++=+=πA A A A A …………3分 ∵角A 为锐角，.45424,20ππππ<+<<<∴A A …………………………………4分 )(,242A f A 时当ππ=+∴取值最大值，其最大值为.212+……………………6分 （II ）由.22)42sin(,121)42sin(221)(=+∴=++=ππA A A f 得………………8分 .125.3,127.4,4342ππππππ=∴=∴=+==+∴C B B A A A Θ又………………10分在△ABC 中，由正弦定理得：.6sin sin .sin sin ===∴=ΛA BBC AC B AC A BC ……12分18、解法一：以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系…………1分（1）设E 是BD 的中点，ΘP —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD PE ⊥…………2分又2,AB PA ==∴2=PE ∴)4,1,1(P ……………………………3分∴ 11(2,2,0),(1,1,2)B D AP =-=u u u u r u u u r………………………………………………4分 ∴ 110B D AP ⋅=u u u u r u u u r即11PA B D ⊥………………………………………5分（2）设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =u r，…………………………………………6分(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==u u u r u u u rQ ……………………………………………………7分 ∴ 02,0=+=z x y 取1=z 得(2,0,1)m =-u r，………………………………8分又平面11BDD B 的法向量是(1,1,0)n =r…………………………………………9分∴cos ,m n m n m n⋅<>==u r ru r r u r r∴cos θ=…………………10分 （3）1(2,0,2)B A =-u u u rQ …………………………………………………………………11分∴1B 到平面PAD的距离1B A m d m⋅==u u u r u r u r14分 解法二：（1）设AC 与BD 交点为O ，连PO ；∵P —ABCD 是正四棱锥，∴PO ⊥面ABCD ，……1分∴AO 为P A 在平面ABCD 上的射影， 又ABCD 为正方形，∴AO ⊥BD ，…………3分 由三垂线定理知P A ⊥BD ，而BD ∥B 1D 1；∴11PA B D ⊥…………………………5分 （2）由题意知平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角为二面角A-PD-B ；……6分∵AO ⊥面PBD ，过O 作OE 垂直PD 于E ，连AE ，则由三垂线定理知∠AEO 为二面角A-PD-B 的平面角； ……………………8分可以计算得，cos θ=…………………………………………………………10分 （3）设B 1C 1与BC 的中点分别为M 、N ；则1B 到平面PAD 的距离为M 到平面PAD 的距离；由V M-PAD =V P-ADM 求得556=d 。