理科数学高三年级期中考试试题参考答案1-4、BDAD ；5-8、CBAC ；9-12、DCBC ；13、10-；14、3；15、1+=ex y ；16、]22[，-； 17．⑴ 易知：0,a ≠由题设可知()31,1,1122 1.2 2.1.n d a aa n n d d a ⎧+=⎪=⎧⎪∴∴=+-⋅=-⎨⎨=⎩⎪⋅=⎪⎩………6分⑵ 由（I ）知2232-+=n b nn ，∴)22420()333(242-++++++++=n T nnn n n n n n -+-=⨯-++--=2)19(89222091)91(9 ………12分 18.⑴)62sin(2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2ππ+=+-=-+-=x x x x x x f ； ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T ； 由)(2236222z k k x k ∈+≤+≤+πππππ；解得)(326z k k x k ∈+≤≤+ππππ∴)(x f 的单调递减区间为)](32,6[z k k k ∈++ππππ。

………6分⑵由21)62sin()(=+=πx A f ，),0(π∈A ，得3π=A又9cos ||||=⋅=⋅A AC AB AC AB ，∴18=bc 又c a b ,,成等差数列，∴c b a +=2由余弦定理得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，解得23=aABC ∆周长为29=++c b a ………12分 19.⑴由列联表可知，22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.∵2.198 2.072>，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分 ⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有60106100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有40104100⨯=（人）. 则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为21364633101023C C C P C C =+=. …………8分②由22⨯列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为1301320020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为1320. 由题意得)2013,10(~B X ，∴1313()10202E X =⨯=；13791()10202040D X =⨯⨯=. …………12分 20.⑴在直三棱柱中1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，11,C F C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =，∴AB ⊥平面11BCC B ，又∵AB ⊂平面EBA ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ．· ……………………5分 ⑵由（1）可知AB BC ⊥，以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系．设 1AA a =，()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，， ()11E a ，，，()100F ，，，· ……………………6分 直线1FC 的方向向量()10a =，，a ，平面1ACC A 的法向量()110=，，m ，2a =，· ……………………·8分 ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，，， 设平面ABE 的法向量()1x y z =，，n ，∴2020y x y z =⎧⎨++=⎩，∴()1201=-，，n ，· ……………………10分 设平面CBE 的法向量()2x y z =，，n ， ∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩，∴()2021=-，，n ， ……………………11分 记二面角A BE C --的平面角为θ，1cos 5θ=，∴sin 5θ=∴二面角A BE C --的平面角的正弦值为5． ……………………12分21.⑴函数()f x 的定义域为()-∞+∞,，()()()e 1e e e x x x xf x x kx x kx x k '=+--=-=-， ·········1分 ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，，单调递增区间是[)0+∞,； ·········2分 ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >．∴()f x 在()ln k -∞,和()0+∞,上单调递增，在[]ln 0k ,上单调递减； ·········3分 ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在()-∞+∞,上单调递增；· ········4分④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在()0-∞，和()ln k +∞,上单调递增，在 []0ln k ,上单调递减． ·········5分 ⑵()01f =-， ①当01k <≤时，由（1）知，当()0x ∈-∞,时， ()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，此时()f x 无零点， ·········6分 当[)0x ∈+∞,时，()222e 2e 20f k =-≥->．又∵()f x 在[)0+∞,上单调递增，∴()f x 在[)0+∞,上有唯一的零点，∴函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点；· ········7分 ②当1k >时，由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；· ········8分 当[)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，()()()2211111e e 22k k k k k f k k k ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．令()21e 2tg t t =-，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-，∵2t >，()0g t ''>，()g t '在()2+∞,上单调递增，()()22e 20g t g ''>=->，∴()g t 在()2+∞,上单调递增，得()()22e 20g t g >=->，即()10f k +>．∴()f x 在[)ln k +∞,上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点．·········11分 综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点． ……………·12分 22.⑴由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为224x y x +=， 所以圆C 的直角坐标系方程为2240x y x +-=．由12 2x y =⎧⎪⎨=⎪⎪⎪⎩消t得102x y --=，所以直线l 的普通方程为2210x y --=．…………5分 ⑵显然直线l 过点102M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=得27024t --=， 根据直线参数方程中参数的几何意义知：47||||||21==⋅t t MB MA ． ……………………10分 23.⑴若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可． 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =． ……………………5分 （2）根据（1）知正实数a ，b 满足2234a b +=， 由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”)． ……………………10分。