②由 列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为 ，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，
恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为 .
由题意得 ，∴ ； . …………12分
20.⑴在直三棱柱中 ，
又 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ．·……………………5分
⑵由（1）可知 ，
③当 时， ， 在 上单调递增；·········4分
④当 时，令 ，解得 或 ，所以 在 和 上单调递增，在
上单调递减．·········5分
⑵ ，
①当 时，
由（1）知，当 时，
，
此时 无零点，·········6分
当 时， ．
又∵ 在 上单调递增，∴ 在 上有唯一的零点，
∴函数 在定义域 上有唯一的零点；·········7分
理科数学高三年级期中考试试题参考答案
1-4、BDAD；5-8、CBAC；9-12、DCBC；13、 ；14、 ；15、 ；16、 ；
17．⑴ 易知： 由题设可知 ………6分
⑵ 由（I）知 ，
∴
………12分
18.⑴ ；
∴ 的最小正周期 ；
由 ；解得
∴ 的单调递减区间为 。………6分
⑵由 ， ，得
又 ，∴
记二面角 的平面角为 ， ，
∴ ，
∴二面角 的平面角的正弦值为 ．……………………12分
21.⑴函数 的定义域为 ，
，·········1分
①当 时，令 ，解得 ．
∴ 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；·········2分
②当 时，令 ，解得 或 ．
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减；·········3分
22.⑴由 得 ，化为直角坐标方程为 ，
所以圆 的直角坐标系方程为 ．
由 消 得 ，所以直线 的普通方程为 ．…………5分
⑵显然直线 过点 ，
将 代入圆 的直角坐标方程 得 ，
根据直线参数方程中参数的几何意义知： ．……………………10分
23.⑴若不等式 有解，只需 的最大值 即可．
因为 ，所以 ，解得 ，
又 成等差数列，∴
由余弦定理得 ，解得
周长为 ………12分
19.⑴由列联表可知，
.
∵ ，
∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分
⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有 （人），
偶尔或不用共享单车的有 （人）.
则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为 . …………8分
以 点为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，建立坐标系．设
， ， ， ， ， ， ，
， ，·……………………6分
直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，
可知 ，∴ ，·……………………·8分
， ， ，
设平面 的法向量 ，
∴ ，∴ ，·……………………10分
设平面 的法向量 ，
∴ ，∴ ，……………………11分
所以实数 的最大值 ． ……………………5分
（2）根据（1）知正实数 ， 满足 ，
由柯西不等式可知 ，
所以， ，因为 ， 均为正实数，
所以 (当且仅当 时取“=”)． ……………………10分
②当 时，
由（1）知，当 时，
，此时 无零点；·········8分
当 时， ，
．
令 ， ，则 ， ，
∵ ， ， 在 上单调递增， ，
∴ 在 上单调递增，得 ，即 ．
∴ 在 上有唯一的零点，故函数 在定义域 上有唯一的零点．·········11分
综合①②知，当 时函数 在定义域 上有且只有一个零点．……………·12分