17解（1） ∴ ，∴ ………………3分
………………6分
（2） ………………9分
∵ ，∴ ，…………10分
∴ ………………11分
∴ ∴函数 …………12分
18.解析：(1)∵当x＝10时，y＝9.2，即 ×10－a×102－ln 1＝9.2，解得a＝ .
∴f(x)＝ x－ －ln .( )…………4分
A. B.
C. D.
7．如图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
8．若 ，则 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
9．如图， 的外接圆的圆心为 , 则 等于（ ）
A． B. C． D.
10．已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
21．（本题满分14分）．
已知函数 ．
（1）当 时，函数 取得极大值，求实数 的值；
（2）已知函数 ，在区间 内存在唯一 ，使得 . 设函数 （其中 ），证明：对任意 ，都有 ；
（3）已知正数 满足 ，求证：对任意的实数 ，若 时，都有 .
2014—2015学年上学期高三期中考试
数学（理科）参考答案
17.（本题满分12分）
已知向量 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 在 上的值域．
18.（本题满分12分）
2014年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝ x－ax2－ln ，x∈（1，t]，当x＝10时，y＝9.2.
所以由 ，可知 ，…………10分
所以 .…………11分
综上可知， .…………12分
20.解：(1) ,所以 的周期为2………2分
所以 ,所以 为奇函数.……………4分
(2) …………6分
因为 ，所以当 时， …………8分
（3）任取 ……10分
所以不存在这样的 …………13分
21.(1)由题设，函数的定义域为 ，且
15．已知函数 ，且 是函数 的极值点。给出以下几个命题：
① ；② ；③ ；④
其中正确的命题是__________.（填出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）
设命题 ：函数 在区间[－1,1]上单调递减；命题 ： 使等式 成立，如果命题 或 为真命题， 且 为假命题，求 的取值范围.
2015届高三上学期数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1．已知集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．下列有关命题的叙述，①若 为真命题，则 为真命题；②“ ”是“ ”的充分不必要条件；③命题 ，使得 ，则 ，使得 ；④命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 或 ，则 ”.其中错误的个数为（ ）
(1)求y＝f(x)的解析式;
(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值.
19.（本题满分12分）
在 中， 为角 所对的边，
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 ， ，当 时， .
（1）证明： 为奇函数；
（2）求 在 上的表达式；
（3）是否存在正整数 ，使得 时， 有解，若存在求出 的值，若不存在说明理由.
故对任意 ，都有 .…………………………9分
（3）因为 且 ， ，
同理 ，…………………………12分
由（Ⅱ）知对任意 ，都有 ，从而
．
…………………………14分
(解答题各题其他解法参考上述评分标准对应给分)
(2)对f(x)求导，得 .
令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．…………6分
当x∈(1,50)时，f′(x)＞0， f(x)在(1,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，f′(x)＜0， f(x)在(50，＋∞)上是减函数．…………8分
所以当t>50时，当x∈(1，50)时，f′(x)＞0，,f(x)在(1，50)上是增函数；当x∈(50，t]时，f′(x)＜0，f(x)在(50，t]上是减函数．∴当x＝50时，y取得最大值;…………10分
A．1B．2C．3D．4
3．在 中， ，则角 等于( )．
A． B． 或 C． D． 或
4．已知 且 ,则函数 与 的图象可能是（）
A B C D
5.若函数 ，则下列结论正确的是（）
A． ， 在 上是增函数B． ， 在 上是减函数
C． ， 是偶函数D． ， 是奇函数
6．函数 的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
所以当t 50时，当x∈(1，t)时，f′(x)＞0，,f(x)在(1，t)上是增函数,∴当x＝t时，y取得最大值;…………12分
19.解（1）由正弦定理得： …………2分
，（3分）又因为 …………5分
（2）由 ，
可得 .
所以 或 .…………7分
当 时， ，
此时 ；…………9分
当 时，由正弦定理得 ，
所以 ，得 ，此时. …………………2分
当 时， ，函数 在区间 上单调递增；
当 时， ，函数 在区间 上单调递减.
函数 在 处取得极大值，故 …………4分（不检验只扣一分）
（2）令 ，
则 .因为函数 在区间 上可导，则根据结论可知：存在 使得 …7分
又 ，
当 时， ，从而 单调递增， ；
当 时， ，从而 单调递减， ；
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是
12．函数 在点（ ）处的切线方程是_______________．
13.已知函数 是 上的减函数，那么 的取值范围是_________．
14．定义在 上的函数 的图象如下图所示， ， ，那么不等式 的解集是___________.