解三角形三类经典类型类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状2 2 2例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2c 2三角形为等腰直角三角形.例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)0 • a 2 b 2或a 2 b 2 c 2即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状.cosB cosC解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 • B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得例3:在厶ABC 中，已知tan A tan B2，试判断厶ABC 的形状.b 2解：法1:由题意得 sin AcosBsin B cos A ■ 2 Asin A ■ 2 - sin B,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B••• 2A=2B 或 2A+2B=n /• A=B 或 Aa2a 2 ,2c b 法2：由已知得sinAcosB sin Bcos A2a2结合正、余弦定理得b 22ac b b 2 2 2 c aa 2b 2Bi ，•三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.为等腰直角三角形.类型二求范围与最值b c2、在厶ABC 中, AD 为BC 边上的高线， AD= BC 角A, B , C 的对边为a , b , c ,^卜+二的最 c b大值是一 一 2 ,2 2 : 1 21 ab +c — a解析 因为AD= BC= a ,由；a = bc sin 代解得sin A =厂，再由余弦定理得cos A ='2 2 bc2bc2 2 2 2 2 2a — c - a a - cbc ，化简整理得 (a 2 b 2 c 22ac 2ab)(b c) 02 2b c 即三角形为直角三角形.例5： （2在厶ABC 中，（1）已知a - b=ccosB — ccosA ，判断△ ABC 的形状. 若 b=asinC,c=acosB,判断△ ABC 的形状. 解: （1）由已知结合余弦定理可得a b ca 2 c 2b 2c 2(ab)(a 2 b 2 c 2) 0 ••• a b 或a 2 b 2(2)b=as inC可知sinC 哑, asin A2acb 2c - 2bc2a，整理得c 2，•/三角形为等腰三角形或直角三角形 2 2 ,2a cb 亠c=acosB 可知c a整理得2acb 2c 2a 2，即三角形 ，定是直角三角形，Z A=90 , /• sinC=sinB /-Z B=Z C,「.A ABC例6:已知△ ABC 中, cos A -，且(a 2): b : (c 2) 5 1:2:3， 判断三角形的形状. 解：由题意令a 2 k,b 2k,c 2 3k(k 0)，则 a k 2,b 2k, c 3k 2 4••• cos A —,由余弦定理得k5角三角形.24 •/ a 6,b8, c 10 •/ ab c 即厶ABC 为直7.在厶 ABC 中, a 、 b 、c 分别为 A B C 的对边，cos2-2匕工，则△ ABC 的形状为2c8.在 ABC 中，若tan A tanB 2c bb ,，则 A= 1、在ABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、C 满足b 2c 2 a 2bc ，AB BC 0,a 仝则2b c 的取值范围是1 b c a i b c b c( si nA)，得 一+ 匚=2cos A + sin A,又 A (0 ,n )，最大2 cb bc 2 cbcb值为 5解析几何或者几何法 1解析几何法：ABC,BC 2,AB 、. 3AC,求 ABC 面积的最大值。

2几何法： ABC ，知道BC=4, AC=2 3,求B 的范围 方程有解，利用判别式求范围。

附例：4、 已知 ABC 中，B=—,b 3，且 ABC 有两解，则边a 的取值范围是35、 借力打力型求取值范围设钝角三角形的另外两个角是10、 钝角三角形 ABC 的三边长为a , a +1, a +2( a N )，贝U a= ___________ 11、 在锐角 ABC 中，BC 1, B 2A ，则AC 的取值范围为.12、 设 ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a,b,c ，若三边的长为连续的三个正整数, 且 A B C , A 2C ，则 sin A : si nB:s inC 为 __________________附例：钝角三角形中，B —,3若最大边和最小边长的比为m,则m 的取值范围6、 已知△ ABC 中, A B= 1, BC= 2, 则角C 的取值范围是7、在厶ABC 中若 C 2 8 已知 ABC 中， B= ,b39、已知 ABC 中, a x,b ABB ,则竺的取值范围AC3，且 ABC 有一解，则边a 的取值范围是2,B45°,若该三角形有两解，则x 的取值范围是a14、在锐角三角形 ABC 中，A 2B ，则旦 的取值范围是b cCk 4怡巧,C (45,9°)，k (4 2 4,4)15、在锐角三角形 取值范围 _________ABC 中，S2 2c (a b)C 既不是最大角，也不是最小角，求16.在钝角三角形 ABC 中，已知a 1,b2,则c 的取值范围为 (—3)(.5,3)类型三求值专题1、 在厶ABC 中，若BC=5 CA=7, AB=8,则厶ABC 的最大角与最小角之和是 .2、ABC (b c c a a b A ： B ：C3、在厶 ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC= 3BD AD=Q 2,/ ADB= 135°,若 AC=^AB 则 BD=fi解析：■/ (b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6,•••设 b +c = 4k , c + a = 5k , a + b = 6k (k > 0), 3 . . . “ 宀 c =, — sin A ： sin B : sin C= a : b : c = 7 : 5 : 3.答案：7 : 5 : 37 5解得 a = 2k , b = 2k , 4、钝角三角形边长为 5、在厶ABC 中，已知 a-b=4,a+c=2b 且最大内角为 1200，贝U a=6、 如果满足/ ABC= 60°,AC= 12 , BC= k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是7、 在厶ABC 中，若C = 30°, AC= 琲，AB= 3,则厶ABC 的面积为 ___________ . 解析：由正弦定理得： 啓=代,sinB = AC iin C = 攀• £= 3,所以B= 60。

或120° .sin C sin BAB 3 2 211厂弭31当 B = 60° 时，S A = 2ABX AC= • 3・ 3 ,：3=牙；当 B = 120。

时，S A = 0ABX AC- sin30答案:口或口2或4仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入附例：在锐角△ ABC 中，角A B C 的对边分别为a、b 、c .若牛b =6cos C 则罷 a 、 tan C “,+ 口 +tanp 勺值是一49海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60o 的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75o 的视角；贝U B 、C 间的距离是10•某渔轮在航行中不幸遇险， 发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，测得该渔轮在方位角450、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角 1050的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时 21海里的速度前去营救;11、在 ABC 中，若 A = 600, a 2.3,则sin A a 2b 3c.42sin B 3sin C12、在 ABC 中,三边 a ,b ,c 与面积 s 的关系式为s 1/2 4(ab 2c 2),则角C 为13、在ABC 中，在 ABC 中,若 tan A2c b ，求A .tan Bb ,sin A解：由正弦定理知c 2Rsin C , bsinB ,cos A 2si n C sinB 2s inCsin B sin B sin BcosBsin AcosB 2s inC sin (A B) 2 si nC sin C 2sin C 1cosAsin Bsin B 'sin B cos A sin B 'sin B cos Asin B '近渔轮所需的时间是 小时• 1450则舰艇靠。