高中数学必修5 第一章 解三角形复习
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R =
=2c
R
=
； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）
R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
【余弦定理】
1．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=⎨⎪⎪+-=
⎪⎩
.
设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若2
2
2
a b c +=，则90C =；②若2
2
2
a b c +>，则90C <； ③若2
2
2
a b c +<，则90C >．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.111sin ()222
a S ah a
b C r a b
c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）
2.设)(2
1
c b a p ++=
,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)
【三角形中的常见结论】
（1）π=++C B A
(2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
2cos 2sin
C B A =+,2
sin 2cos C
B A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>
C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于
60，最小角小于等于
60
(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角
⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是
60=B .
(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形
是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2
π
=
+B A .
题型2【解三角形及求面积】
题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.
题型4【解三角形在实际中的应用】
解三角形测试题
一、选择题
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于
（ ）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
2、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )
A.10 海里
B.5海里
C. 56 海里
D.53 海里
3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5.△ABC 中，cos cos cos a b c
A B C ==
，则△ABC 一定是 （ ）
A 直角三角形
B 钝角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
6. △ABC 中，60B =，2
b a
c =，则△ABC 一定是 （ ）
A 锐角三角形
B 钝角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形 7.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
8.△ABC 中，8b =，c =，ABC
S
=则A ∠等于 （ ）
A 30
B 60
C 30或150
D 60或120
9.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b c
A B C +-+-等于 （ ）
A 2
B 1
2 D
10．在△ABC 中，若0
30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-
11. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）
A 13
B 12
C 3
4
D 0 12.把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 二填空题
13、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=12
7
, 则ΔABC 是______三角形.
14、在ΔABC 中，若S ΔABC =4
1
(a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.
15、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_______.
16．在△ABC 中，,26-=
AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题
17、在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，判断ABC ∆形状.
18.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=
19.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3
π
=
C ．
（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；
（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．
.
20、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=
B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
21、一缉私艇发现在北偏东
45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南
15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+
45的方向去追,.求追及所需的时间和α
角的正弦值.
22、 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 22
2B b a C A R -=-求
△ABC 的面积的最大值.
A。