解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式（1）；高底⨯⨯=∆21ABC S （2）（两边夹一角）；B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sinC B A C B A =+=+分类题解：类型一：正弦定理1、计算问题：例1、 （2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________　例2、 已知ABC 中，A ，= ．∆∠60=︒a =sin sin sin a b c A B C ++++例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小；2、三角形形状问题例3、 在中，已知分别为角A ，B ，C 的对边，ABC ∆,,a b c 1) 试确定形状。

BA b cos cos a =ABC ∆2）若，试确定形状。

cos cos aB b A=ABC ∆4）在中，已知，试判断三角形的形状。

ABC ∆A b B a tan tan 22=5）已知在中，，且，试判断三角形的形状。

ABC ∆C c B b sin sin =C B A 222sin sin sin +=例4、（2016年上海）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______ABC ∆类型二：余弦定理1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角在△ABC 中，若，则角是直角；222a b c +=C 若，则角是钝角；222a b c +<C 若，则角是锐角．222a b c +>C 例 1、在△ABC 中，若 a = 9, b = 10, c = 12, 则△ABC 的形状是_________。

2、求角或者边例2、（2016年天津高考）在△ABC 中，若,BC=3， ,则AC = ．AB 120C ∠=例 3、在△ABC 中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．3a =4b =c =例 4、在△ABC 中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?3、余弦公式直接应用例 5、：在ABC 中，若，求角A ．∆222a b c bc =++例 6、：(2013重庆理20)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab ＝c 2.(1)求C ；例7、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =例8、（2016年北京高考） 在∆ABC 中，222+=a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若ABC ∆A B C a b c，，则 .a =1sin 2B =6C =πb =例2.，则B 等于 。

1)(22=-+acb c a 例3.【2015高考天津，理13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知ABC ∆,,A B C ,,a b c的面积为 ， 则的值为 .ABC ∆12,cos ,4b c A -==-a 例4.在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB=，求sinA= 。

31例5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则．ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A C =例6.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.变：在中，若，则角的度数为 ABC ∆7:5:3sin :sin :sin =C B A C 例7.△ABC 的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c= .例8.设的内角的对边分别为，且，,则ABC ∆,,A B C ,,a b c 53cos =A 135cos =B 3=b c =类型四：与正弦有关的解的个数思路一：利用表格进行a=bsinA ，一解 b sinA<a<b ，两解 a=b ，一解 a>b ，一解思路二：利用大边对大角进行筛选例1：在△ABC 中，b sin A ＜a ＜b ，则此三角形有A.一解 B .两解 C.无解 D.不确定例2：在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】ABC ∆A 、，，；B 、，，；7=a 14=b ︒=30A 25=b 30=c ︒=150C C 、，，；D 、，，。

4=b 5=c ︒=30B 6=a 3=b ︒=60B 例3：在中，ABC ∆有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a o A b =∠>==λλλa <b sin A a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b 无解一解两解一解类型五：与有关的问题π=++C B A 例1：在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 _____________.变：在△ABC 中，已知，那么△ABC 一定B C B C cos )sin(2sin +=是 。

例2:在中,角,,对应的边分别是,,.已知.ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=(I)求角的大小;A(II)若的面积,,求的值.ABC ∆S =5b =sin sin B C 例3: △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝，求B .13例4: 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且b)sinC(2c c)sinB (2b 2asinA +++= （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求的最大值.sin sin B C +类型六：边化角，角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos 都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ．（Ⅰ）求角C 的大小；例2在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则的值2sin 2B －sin 2A sin 2A为例3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例4：(2011·全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －a sin 2C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .例5：（2016年四川高考）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.cos cos sin A B C a b c+=（I ）证明：；sin sin sin A B C =（II ）若，求.22265b c a bc +-=tan B例6：（2016年浙江高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积，求角A 的大小.2=4a S 例7：的内角所对的边分别为.ABC ∆C B A ，，c b a ，，（I ）若成等差数列，证明：；c b a ，，()C A C A +=+sin 2sin sin （II ）若 成等比数列，求的最小值.c b a ，，B cos类型七：面积问题面积公式：例1：设ABC A 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且b=3，c=1，△ABC 的面积为求cosA 与a 的值；2例2:在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==。

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.例3：的内角，，所对的边分别为，，．向量与C ∆AB A B C a b c ()m a = 平行．()cos ,sin n =A B （I ）求；A（II ）若，求的面积a =2b =C ∆AB例4．在中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足ABC ∆(1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．例5：（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．例6：（2016年全国I 高考）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若的周长．c ABC △=ABC △题型八：图形问题例1：如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？例2.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时A 测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏30 B 北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.75 30 CD =正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，则角B 的值为3A . B . C . 或 D . 或π6π3π65π6π32π32．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为3A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABCA ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A . B . C . D . 5183432785．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝a ，则( )2A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 大小不能确定二、填空题6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝，b ＝3，C ＝30°，则A ＝37．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝，b ＝2，sin 2B ＋cos B ＝，则角A 的大小为________．28．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．三、解答题9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab .（1）求角C 的大小；（2）又若sin A sin B ＝，判断△ABC 的形状．3411．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝(a 2＋b 2－c 2)．34（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．12.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．ABC ∆D BC AD BAC ∠ABD ∆ADC ∆(Ⅰ) 求；sin sin B C∠∠(Ⅱ)若，和的长．1AD =DC =BD AC。