21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14x C y +=；（2）定值1．【解析】（1）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭，椭圆22:14x C y +=．（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()22222,4184401,4y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+， ()()1212121212121211404044y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=， ()()22121241440kx x kt x x t ++++=，()2222222448414402414141t kt k kt t t k k k ⎛⎫-+-+=⇒-= ⎪++⎝⎭，()()()()2222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()222222284411422414141kt t k k k k k ⎡⎤-+⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 21td k =+，222212214112t t k S k k t +==⨯=++． ∴OMN △的面积为定值1．20．（本小题满分12分）[2017平安一中]已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率是22，上顶点B 是抛物线24x y =的焦点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若P 、Q 是椭圆M 上的两个动点，且OP ⊥OQ （O 是坐标原点），由点O 作OR ⊥PQ 于R ，试求点R 的轨迹方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）2223x y +=．【解析】（1）由题设知22222c a b a =⇒=······① 又1b =······②所以椭圆M 的标准方程为2212x y +=．（2）（i ）若直线PQ ∥x 轴，设直线:PQ y m =，并联立椭圆方程解出2(22)P m m -，，2(22)Q m m --，，由OP ⊥OQ 得260320||||3OP OQ m OR m ⋅=⇒-=⇒===定值； （ii ）若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+()t R n R ∈∈，，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，由韦达定理得12221222 (2)2········ 2tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩③④，由OP ⊥OQ 得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=， 即1212()()0ty n ty n y y +++=······⑤把③、④代入⑤并化简得22312n t =-，所以223n ≥，又原点O 到直线PQ 的距离22||||6||3132n n OR t n ====+定值， 所以动点R 的轨迹是以点O 为圆心，63为半径的圆，其方程为2223x y +=．20．（本小题满分12分）[2017郑州一中]已知圆M ：222()0x y r r +=>与直线1l ：340x y -+=相切，设点A 为圆上一动点，AB x ⊥轴于B ，且动点N 满足2AB NB =，设动点N 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1．【解析】（1）设动点()N x y ，，00()A x y ，，因为AB x ⊥轴于B ，所以0(0)B x ，， 设圆M 的方程为222:x y M r +=， 由题意得|4|213r ==+， 所以圆M 的方程为22:4x M y +=．由题意，2AB NB =，所以00(0)2()y x x y -=--，，， 所以，即002x xy y =⎧⎨=⎩，将(2)A x y ，代入圆22:4x M y +=，得动点N 的轨迹方程2214x y +=． （2）由题意设直线l ：30x y m -+=，设直线l 与椭圆2214x y +=交于11()P x y ，，22()Q x y ，，联立方程22344y x m x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，得221383440x mx m ++-=， 222192413(44)16(13)0m m m ∆=-⨯-=-+>，解得2 13m <，22128316(13)432132613m m m m x -±-+-±-==， 又因为点O 到直线l 的距离||2m d =，2124132||213m PQ x x -+=-=，2222(13)1||41321221313OPQm m m m S --=⋅⋅=△≤． ∴OPQ △面积的最大值为1． 20．（本小题满分12分）[2017临川一中]已知右焦点为F 的椭圆222:1(3)3x y M a a +=>与直线37y =相交于P 、Q 两点，且PF QF ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC △的重心，试探究ABC △的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）92． 【解析】（1）设()0F c ，，37P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则37Q t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴22317t a +=，即2247t a =①， ∵PF QF ⊥，∴33771t c t c =----，即2297c t -=-②，∴由①②得224977c a -=-， 又223a c -=，24a =，∴椭圆M 的方程为22143x y +=．（2）设直线AB 方程为：y kx m =+，由22143x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122122834634km x x k m y y k -+=++⎧⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩， ∵O 为重心，∴()22863434kmm OC OA OB k k -⎛⎫=-+=⎪++⎝⎭，， ∵C 点在椭圆E 上，故有2222863434143km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，可得22443m k =+， 而2222222222841241141293343434km m k AB kk m k k k ⎛⎫--+⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 点C 到直线AB 的距离231m d k=+（d 是原点到AB 距离的3倍得到），∴2222226619129312323442ABC m m S AB d k m m m k m ==+-=-=+△， 当直线AB 斜率不存在时，3AB =，3d =，92ABC S =△， ∴ABC △的面积为定值92． 20．（本小题满分12分）[2017长沙一中]如图，椭圆2212210x y C a b a b+=：（＞＞）的离心率为32，x 轴被曲线22C y x b =-：截得的线段长等于1C 的长半轴长．（1）求1C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于D ，E ．（i ）证明：MD ME ⊥；（ii ）记MAB △，MDE △的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ，使得121723S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）32y x =和32y x =-． 【解析】（1）由题得22312c b e a a ==-=，从而2a b =，又2b a =，解得2a =，1b =，故1C 的方程分别为2214x y +=．（2）（i ）由题得，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =，由2y kx y x b=⎧⎨=-⎩得210x kx --=． 设11A x y （，），22B x y （，），则1x ，2x 是上述方程的两个实根，于是12x x k +=，121x x =-，又点M 的坐标为01-（，）， 所以21212121212121212(1)(1)()11MA MBy y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++⋅=⨯===-．故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-． 由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩． 则点A 的坐标为2111k k -（，）．又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111k k -（，-1）．于是221111211111111||||1||1||222||k S MA MB k k k k k +==+⨯⨯+⨯-=． 由1221440y k x x y =-⎧⎨++=⎩得22111480k x k x +-=（）． 解得01x y =⎧⎨=-⎩或，12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++． 又直线ME 的斜率为11k -．同理可得点E 的坐标为211221184(,)44k k k k --++． 于是21122211321||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +==++（）．故2112211417(417)6432S k S k =++=，解得214k =或2114k =． 又由点A ，B 的坐标得，21211111111k k k k k k k -==-+．所以32k =±． 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程为32y x =和32y x =-． 20．（本小题满分12分）[2017南阳一中]已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,1)P --，c 为椭圆的半焦距，且2c b =，过点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l 与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1l 的斜率为1-，求PMN △的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．【答案】（1）223144x y +=；（2）2；（3）0x y +=或12x =-． 【解析】（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，过点(1,1)P --，c 为椭圆的半焦距，且2c b =，所以22111a b+=，且222c b =， 所以223a b =，解得243b =，24a =， 所以椭圆方程为223144x y +=． （2）设1l 方程为1(1)y k x +=+，由221,34,y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩整理得222(13)6(1)3(1)40k x k k x k ++-+--=， 因为(1,1)P --，解得2222361321(,)1313k k k k M k k -+++-++， 当0k ≠时，用1k-代替k ，得22226323(,)33k k k k N k k ----+++， 将1k =-代入，得(2,0)M -，(1,1)N ． 因为(1,1)P --，所以2PM =，22PN =，所以PMN △的面积为122222⨯⨯=． （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2211222234,34,x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减得12121212()()3()()0x x x x y y y y +-++-=， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以120y y +=，从而可得1212()()0x x x x +-=， 若120x x +=，则11(,)N x y --，∵PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，得22112x y +=． 又因为221134x y +=，所以解得11x =± ， 所以(1,1)M -，(1,1)N -或(1,1)M -，(1,1)N - ， 所以直线MN 方程为y x =-． 若120x x -=，则11(,)N x y -，因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，得2211(1)1y x =++， 又因为221134x y +=，所以解得112x =-或1-， 经检验：112x =-满足条件，11x =-不满足条件． 综上，直线MN 的方程为0x y +=或12x =-． 20．（本小题满分12分）[2017广东联考]椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，．（1）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 过点()02A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程． 【答案】（1）35；（2）22154x y +=． 【解析】（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴2b a c =+，22242b a ac c =++，()222242a c aac c -=++，∴223520a c ac --=，两边同除以2a -得，25230e e +-=， 解得35c e a ==． （2）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c=-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=， ∴()22222422c c a cx a c c +==++．∴()2242c c C y c ⎛⎫+⎪ ⎪+⎝⎭，． 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =，∴25a =．故所求椭圆的方程为22154x y +=． 21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14x C y +=；（2）定值1．【解析】（1）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭，椭圆22:14x C y +=．（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()22222,4184401,4y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()1212121212121211404044y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=， ()()22121241440kx x kt x x t ++++=，()2222222448414402414141t kt k kt t t k k k ⎛⎫-+-+=⇒-= ⎪++⎝⎭，()()()()2222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()222222284411422414141kt t k k k k k ⎡⎤-+⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 21td k =+，222212214112t t k S k k t +==⨯=++． ∴OMN △的面积为定值1．20．（本小题满分12分）[2017怀仁一中]过点()01B ，的直线1l 交直线2x =于()02P y ，，过点()01B '-，的直线2l 交x 轴于()00P x '，点，012x y +=，12l l M =．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 相交于不同的两点S T ，，已知点S 的坐标为()20-，，点()0Q m ，在线段ST 的垂直平分线上且4QS QT ⋅≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()22114x y y +=≠-；（2）3322m -<≤且0m ≠．【解析】（1）由题意：直线1l 的方程是0112y y x -=-+，∵0012xy +=，∴1l 的方程是014xy x =-+，若直线2l 与y 轴重合，则()01M ，，若直线2l 不与y 轴重合，可求得2l 的方程是011y x x =-，与直线1l 的方程联立消去0x 得2214x y +=，因1l 不经过()01-，点，故动点M 的轨迹C 的方程是()22114x y y +=≠-．（2）设()11T x y ，，直线l 的方程为()122y k x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，于是S T ，两点的坐标满足方程组()22214y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程消去y 并整理得()222214161640k x k x k +++-=， 由212164214k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，设ST 的中点为N ，则222821414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 以下分两种情况：①当0k =时，点T 的坐标为()20，，线段ST 的垂直平分线为y 轴，于是()2QS m =--，，()2QT m =-，，由4QS QT ⋅≤得：2222m -≤≤． ②当0k ≠时，线段ST 的垂直平分线方程是2222181414k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0x =，得2614k m k =-+，∵12k ≠，∴32m ≠． 由()1122QS QT x m y m ⋅=---=-，()()4222222224161512864641414141414k k k k k kk k k k k +--⎛⎫++=⎪++++⎝⎭+≤， 解得：141477k -≤≤且0k ≠，∴2661144k m k k k=-=++． 当1407k -≤≤时，144k k+-≤； 当1407k <≤时，144k k +≥，∴3322m -≤≤且0m ≠； 综上所述：3322m -≤≤且0m ≠．20．（本小题满分12分）[2017雅礼中学]如图，椭圆2212210x y C a b a b+=：（＞＞）的离心率为32，x 轴被曲线22C y x b =-：截得的线段长等于1C 的长半轴长．（1）求1C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于D ，E ．（i ）证明：MD ME ⊥；（ii ）记MAB △，MDE △的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ，使得121723S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）32y x =和32y x =-．【解析】（1）由题得22312c b e a a ==-=，从而2a b =，又2b a =，解得2a =，1b =，故1C 的方程分别为2214x y +=． （2）（i ）由题得，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =，由2y kx y x b=⎧⎨=-⎩得210x kx --=． 设11A x y （，），22B x y （，），则1x ，2x 是上述方程的两个实根，于是12x x k +=，121x x =-，又点M 的坐标为01-（，）， 所以21212121212121212(1)(1)()1•1MA MBy y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++=⨯===-．故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-． 由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩． 则点A 的坐标为2111k k -（，）．又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111k k -（，-1）．于是22111121`111111||||1||1||222||k S MA MB k k k k k +==+⨯⨯+⨯-=． 由1221440y k x x y =-⎧⎨++=⎩得22111480k x k x +-=（）． 解得01x y =⎧⎨=-⎩或，12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++． 又直线ME 的斜率为11k -．同理可得点E 的坐标为211221184(,)44k k k k --++．于是21122211321||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +==++（）． 故2112211417(417)6432S k S k =++=，解得214k =或2114k =． 又由点A ，B 的坐标得，21211111111k k k k k k k -==-+．所以32k =±． 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程为32y x =和32y x =-． 20．（本小题满分12分）[2017九江一中]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()22222,4184401,4y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+， ()()1212121212121211404044y y k k y y x x kx t kx t x x x x =-⇒=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440kx x kt x x t ++++=，()2222222448414402414141t kt k kt t t k k k ⎛⎫-+-+=⇒-= ⎪++⎝⎭，()()()()2222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦，()222222284411422414141kt t k k k k k ⎡⎤-+⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 21td k =+，222212214112t t k S k k t +==⨯=++．。